我们用另一种方法推导(1.19)式，$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$。

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总结前文讨论，得

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=G(x_2)-G(x_1)\equiv G_2-G_1 \label{5.10}\tag{5.10} \end{equation}

整理得

\begin{equation} K_2-G_2=K_1-G_1 \label{5.11}\tag{5.11} \end{equation}

现在，我们做一个细微的变化，引入函数

\begin{equation} U(x)=-G(x),\quad F(x)=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} \label{5.12}\tag{5.12} \end{equation}

于是，得到

\begin{equation} E_2\equiv K_2+U_2=K_1+U_1\equiv E_1 \label{5.13}\tag{5.13} \end{equation}

这就是能量守恒定律，其中$E=K+U$称为总机械能，$U$称为势能。

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5.1 能量概论

能量守恒定律是一条生命力顽强的定律。当适用于亚原子范围的量子力学问世后 ，牛顿力学许多弥足珍贵的概念都被抛弃了。你有所了解吗？

比如，在量子世界，粒子不再有确定的位置和 速度，粒子并不沿着连续的轨道运动。你的生活经验和牛顿力学告诉你，粒子两次现身之间一定有一条连续的轨道相连，但是，在量子世界里，事实不是这样的。

在量子世界，牛顿力学许多思想都被抛弃了，然而，能量守恒观点却经受住了量子革命的考验而幸存下来。

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符号列表：

• $\phi$：凝胶体积分数
• $\phi_0$：凝胶参考态体积分数
• $N$：凝胶内支链长度
• $\psi$：纳米粒子体积分数
• $\chi_{ij}$：组分$i$与$j$之间的弗洛里-哈金斯参数

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图4.5 左图为物体被绳子吊着做圆周运动，在水平面内左半径为$R$的圆周运动，吊绳与竖直方向夹角为$\theta$。右图为赛车在左半径为$R$的圆形赛道上行驶，赛道倾角为$\theta$。符号$\otimes$表示物体向纸面以内运动。

现在我们研究各种圆周运动。

首先看图4.5中的A图，物体被绳子吊着做圆周运动，绳子与竖直方向有个夹角$\theta$，这个角度与圆周运动速率为$v$和轨道半径为$R$有什么关系？

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图4.4 （左图）一根轻绳跨过轻质滑轮与两个物体相连。（右图）受力分析图。

接下来的问题如图4.4所示。两个物体，质量分别为$m$和$M$（下文以$m$和$M$分别指称这两个物体），以绳子相连，绳子跨过一轻滑轮，滑轮位于斜面顶端。在进行数学运算之前，我们可以做出什么判断呢？如果$M>m$，我们能断定$M$会下滑吗？

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11月，日本动画《天气之子》热映，你看了吗？画面美不胜收，被赞为每一帧画面都是壁纸。观影的时候，享受艺术之美，感受少男少女的经历和情感，观影后，不妨做一些知识性思考……

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图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力，右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么？成心给学生找罪受？

不是为了难为学生，是为成就学生，这是入门的门票，学懂这个，才可能学懂更高层次的内容。

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参考文献：Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

在前一篇文章中，给出了Emden-Lane边值问题的变分迭代法。

Emden-Lane边值问题：

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

本文计算一下$\alpha=1$的Emden-Lane边值问题。

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