变分迭代方法（VIM）是中国数学家何吉欢发展的一种求非线性方程近似解的方法。具体方法见International Journal of Non-Linear Mechanics 34 (1999) 699—708。

本文以布拉修斯方程（Blasius equation）为例，介绍变分迭代方法解半无限空间常微分方程。

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4阶泊松-费米方程为：

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi4} \end{equation}

\begin{equation} \delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\phi=0 \label{LPoisson-Fermi4} \end{equation}

这是一个高阶常系数线性常微分方程，下面给出解析解。

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bvp4c语法

bvp4c实例

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此书中程序见：Example programs from Solving ODEs with Matlab

用算出来的一个结果做为初值，即continuation 方法。下面用具体的例子作为说明。例子来自Solving ODEs with Matlab。

方程为：

\begin{equation*} \begin{split} f'''-R[(f')^2-ff'']+RA=&0\\ R''+Rfh'+1=&0\\ \theta ''+P_ef\theta '=&0 \end{split} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{split} f(0)=f'(0)=&0\\ f(1)=f'(1)=&1\\ h(0)=h(1)=&0\\ \theta(0)=&0\\ \theta(1)=&1 \end{split} \end{equation*}

方程描述流体描述流体流过竖直管道的问题，其中 $R$ 为常数，在模型中为雷诺数。常数$P_e=0.7R$，在模型中为佩克莱特数。$A$ 为我们要计算的未知常数。

给定 $R=100, 1000, 10000$，分别解方程。$R=100$时，很容易得到结果，$R=1000, 10000$时程序不收敛，可以把$R=100$时的结果作为初值代入，则顺利得到结果。

下面给出两个程序。

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方程为：

\begin{equation*} y''+(100-\beta)y+\gamma y^3=0 \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{split} y(-1)=&0\\ y(1)=&0\\ y(-1)=&0.1 \end{split} \end{equation*}

给定$\gamma=1$ 解 $\beta$ 和 $y(x)$。

程序如下：

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