n维高斯积分
前一篇博客文章讨论的是单变量高斯积分，这里讨论变量为 $n$ 维矢量 $\vec{x}$ 的情形。
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单变量高斯积分
推导 Hubbard-Stratonovich 变换
Nigel Goldenfeld
伊利诺伊大学Goldenfeld 教授的《相变与重整化群》课程的习题习题4.2，证明恒等式：
\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dx_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}x_iA_{ij}x_j+x_iB_i \right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm {det} A}}e^{\frac{1}{2}B_i(A^{-1})_{ij}B_j} \end{equation*}
式中采用了爱因斯坦求和约定。矩阵 $A$ 为对称正定矩阵，$B$ 为任意矢量。
这其实就是Hubbard-Stratonovich 变换，H-S变换其实就是多变量高斯积分。