人间烟火
用OHAM方法解一个一阶非线性常微分方程
OHAM方法见以前的博文:OHAM解非线性微分方程基本过程。
本文我们用此方法解一个一阶非线性常微分方程,见文献Application of Optimal Homotopy Asymptotic Method for solving nonlinear equations arising in heat transfer。

方程为
\begin{equation} (1+\epsilon u)\frac{du}{dx}+u=0,\quad u(0)=1, \quad x\in [0,\infty) \label{ex1eq} \end{equation}
罗辑思维讲类比思维

只要是人类的思考模型,都必然体现的是一个残缺的世界,都必然忽略了真实世界的某个部分。
理解了这一点,你就明白了,什么叫一个人的认知优势?就是,当绝大多数人都在用某种模型思考问题的时候,你能在关键问题上用不同的模型思考问题,你就容易获得认知优势。为啥?因为他们丢掉的、忽略的、残缺的真实世界的某个部分,你通过转换模型的方式,又能捡起来了。你看到了他们没有看到的东西。你当然就有优势。
这就是查理·芒格一直在说,一个人要有多元思维模型的原因。一个认知模型的残缺要靠其他认知模型来弥补。
加拿大的老喻,在他的微信公众号“孤独大脑”上又发表了一篇文章,讲的是类比思维,就很有意思,也能印证我刚才说的那个观点。
老喻就先端出来一段著名的话,这是特斯拉的老板伊隆·马斯克讲的。有一次他参加节目,主持人就问,你怎么做那么多事,事和事之间也没啥关系,每件事还都能做那么大,你是怎么做到的?

伊隆·马斯克
伊隆·马斯克说:“我在想,存在着一种好的思维框架,那是物理学的东西,有点像第一性原理。把事情缩减至其根本实质,并从那里开始往下推论。这和类比推理正好相反。”
这段话很著名。但是,一般我们都只注意到前面那个词“第一性原理”,很少有人注意到他提到的类比推理。伊隆·马斯克下面还有一小段解释的话,他说:“我们一生都在做类比推理,这基本意味着复制别人对待微小变化的方式。”言下之意就是这种方式不能创新,尤其不能做大的创新。
这是啥意思?我们来关注这个词,“类比思维”。
OHAM解非线性微分方程基本过程
《物理世界奇遇记》一插图有误
泛函迭代方法解半无限空间常微分方程

泛函迭代方法(VIM)是中国数学家何吉欢发展的一种求非线性方程近似解的方法。具体方法见International Journal of Non-Linear Mechanics 34 (1999) 699—708。
本文以布拉修斯方程(Blasius equation)为例,介绍泛函迭代方法解半无限空间常微分方程。
陶哲轩对数学学习的11条建议

来源:陶哲轩对数学学习一些建议
我没有取得数学研究和学术成功的“秘笈”(secret formula)或者“万金油”(one-size-fits-all prescription)。
然而,我可以给出一些一般(也很显然)的建议。
亲水、疏水、超疏水新定义
图1 接触角示意图
水与表面接触各种情形由各种接触角表示,如上图所示,静态接触角$\theta$、滑动角$\alpha0$、前进角$\theta_A$、后退角$\theta_R$。
静态接触角可定义表面为亲水、疏水、超疏水:
- 亲水对应于静态接触角$\theta < 90^{\circ}$
- 疏水对应于静态接触角$\theta > 90^{\circ}$
- 超疏水对应于静态接触角$\theta > 150^{\circ}$
接触角从$89^{\circ}$变化到$91^{\circ}$,这仅仅$2^{\circ}$的差异就将表面分成亲水的和疏水的,有什么道理?可有分子或驱动力方面的原因?
超疏水的定义更是随意定的。
能不能有更靠谱的定义?
水滴碰撞超疏水表面
本动图根据视频Droplet impact: Bouncing from beds of nails转化得到。