发生如下事情：

哪杯是热水？哪杯是冷水？为什么？

原链接：Hot and Cold

OHAM方法见以前的博文：OHAM解非线性微分方程基本过程。

本文我们用此方法解一个一阶非线性常微分方程，见文献Application of Optimal Homotopy Asymptotic Method for solving nonlinear equations arising in heat transfer。

方程为

\begin{equation} (1+\epsilon u)\frac{du}{dx}+u=0,\quad u(0)=1, \quad x\in [0,\infty) \label{ex1eq} \end{equation}

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只要是人类的思考模型，都必然体现的是一个残缺的世界，都必然忽略了真实世界的某个部分。

理解了这一点，你就明白了，什么叫一个人的认知优势？就是，当绝大多数人都在用某种模型思考问题的时候，你能在关键问题上用不同的模型思考问题，你就容易获得认知优势。为啥？因为他们丢掉的、忽略的、残缺的真实世界的某个部分，你通过转换模型的方式，又能捡起来了。你看到了他们没有看到的东西。你当然就有优势。

这就是查理·芒格一直在说，一个人要有多元思维模型的原因。一个认知模型的残缺要靠其他认知模型来弥补。

加拿大的老喻，在他的微信公众号“孤独大脑”上又发表了一篇文章，讲的是类比思维，就很有意思，也能印证我刚才说的那个观点。

老喻就先端出来一段著名的话，这是特斯拉的老板伊隆·马斯克讲的。有一次他参加节目，主持人就问，你怎么做那么多事，事和事之间也没啥关系，每件事还都能做那么大，你是怎么做到的？

伊隆·马斯克

伊隆·马斯克说：“我在想，存在着一种好的思维框架，那是物理学的东西，有点像第一性原理。把事情缩减至其根本实质，并从那里开始往下推论。这和类比推理正好相反。”

这段话很著名。但是，一般我们都只注意到前面那个词“第一性原理”，很少有人注意到他提到的类比推理。伊隆·马斯克下面还有一小段解释的话，他说：“我们一生都在做类比推理，这基本意味着复制别人对待微小变化的方式。”言下之意就是这种方式不能创新，尤其不能做大的创新。

这是啥意思？我们来关注这个词，“类比思维”。

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OHAM 即 The Optimal Homotopy Asymptotic Method，是得到非线性偏微分方程近似解的一种方法。具体见专著：

这里给出此方法的基本过程。

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上图为科普名著《物理世界奇遇记》152页的一副插图，为旧量子论的玻尔-索末菲轨道。

此图有误，你看出来了吗？

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泛函迭代方法（VIM）是中国数学家何吉欢发展的一种求非线性方程近似解的方法。具体方法见International Journal of Non-Linear Mechanics 34 (1999) 699—708。

本文以布拉修斯方程（Blasius equation）为例，介绍泛函迭代方法解半无限空间常微分方程。

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来源：陶哲轩对数学学习一些建议

我没有取得数学研究和学术成功的“秘笈”(secret formula)或者“万金油”(one-size-fits-all prescription)。

然而，我可以给出一些一般(也很显然)的建议。

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图1 接触角示意图

水与表面接触各种情形由各种接触角表示，如上图所示，静态接触角$\theta$、滑动角$\alpha0$、前进角$\theta_A$、后退角$\theta_R$。

静态接触角可定义表面为亲水、疏水、超疏水：

• 亲水对应于静态接触角$\theta < 90^{\circ}$
• 疏水对应于静态接触角$\theta > 90^{\circ}$
• 超疏水对应于静态接触角$\theta > 150^{\circ}$

接触角从$89^{\circ}$变化到$91^{\circ}$，这仅仅$2^{\circ}$的差异就将表面分成亲水的和疏水的，有什么道理？可有分子或驱动力方面的原因？

超疏水的定义更是随意定的。

能不能有更靠谱的定义？

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本动图根据视频Droplet impact: Bouncing from beds of nails转化得到。