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耶鲁基础物理4.6连接体



图4.4 （左图）一根轻绳跨过轻质滑轮与两个物体相连。（右图）受力分析图。

接下来的问题如图4.4所示。两个物体，质量分别为$m$和$M$（下文以$m$和$M$分别指称这两个物体），以绳子相连，绳子跨过一轻滑轮，滑轮位于斜面顶端。在进行数学运算之前，我们可以做出什么判断呢？如果$M>m$，我们能断定$M$会下滑吗？

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优化变分迭代法解Emden-Lane边值问题一例

参考文献：Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

在前一篇文章中，给出了Emden-Lane边值问题的变分迭代法。

Emden-Lane边值问题：

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

本文计算一下$\alpha=1$的Emden-Lane边值问题。

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证明32.5=31.5



根据上图，三角形A占据了$13\times 5$个格，面积$32.5$，将三角形调整一下，得三角形B，占据的格数却少了一个，面积变成31.5。

下面的动图，可以看得更清楚：



问题出在哪里？

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用Matlab bvp4c 解带未知参数的常微分方程边值问题，怎么给出合适的初值？



用算出来的一个结果做为初值，即continuation 方法。下面用具体的例子作为说明。例子来自Solving ODEs with Matlab。

方程为：

\begin{equation*} \begin{split} f'''-R[(f')^2-ff'']+RA=&0\\ R''+Rfh'+1=&0\\ \theta ''+P_ef\theta '=&0 \end{split} \end{equation*}

边界条件为：

\begin{equation*} \begin{split} f(0)=f'(0)=&0\\ f(1)=f'(1)=&1\\ h(0)=h(1)=&0\\ \theta(0)=&0\\ \theta(1)=&1 \end{split} \end{equation*}

方程描述流体描述流体流过竖直管道的问题，其中 $R$ 为常数，在模型中为雷诺数。常数$P_e=0.7R$，在模型中为佩克莱特数。$A$ 为我们要计算的未知常数。

给定 $R=100, 1000, 10000$，分别解方程。$R=100$时，很容易得到结果，$R=1000, 10000$时程序不收敛，可以把$R=100$时的结果作为初值代入，则顺利得到结果。

下面给出两个程序。

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拍的音频演示

一个质点同时做两个简谐振动，两个简谐振动的方向在同一直线上，但频率略有不同，假设振幅相同，初相位都是0。假设两个简谐振动分别为

\begin{equation*} x_1=A\cos (\omega_1 t) \end{equation*}

\begin{equation*} x_2=A\cos (\omega_2 t) \end{equation*}

则合振动为

\begin{equation*} x=x_1+x_2=A\cos (\omega_1 t)+A\cos (\omega_2 t)=2A\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2 }{2} t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2 }{2}t \right) \end{equation*}

如果$latex \omega_1 \approx \omega_2$，于是$\omega_1-\omega_2 \ll \omega_1+\omega_2$，所以合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。合振动振幅周期变化的现象叫拍，合振幅每变化一个周期叫做一拍。

下面通过声音演示一下拍现象。声音来自密歇根大学音乐物理讲义

两频率分别为100Hz和120Hz的声音，如下图所示：

两声音叠加，可听到拍：
[audio wav="http://joyfulphysics.scholarnet.cn/wp-content/uploads/2016/04/beatdemo.wav"][/audio]

上述文件中依次听到100Hz和120Hz的声音之后才是拍的声音。

下面是从Youtube上下载的演示视频。

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