《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题10：

两个质量分别为$m_1$和$m_2$的质点发生正面碰撞，设恢复系数为$r$，证明损失的动能是质心系中动能的$(1-r^2)$倍。

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本文内容整理自《伯克利物理学教程·力学》。

考虑两个粒子弹性碰撞问题。两个粒子质量分别为$M_1$和$M_2$，$M_1$与$M_2$碰撞，碰撞之后，$M_1$运动方向相对于原运动方向偏转一个角度$\theta_1$（也称散射角）。我们求一下$\theta_1$的取值范围。

不失一般性，选定一个这样的参考系（实验室参考系），碰撞之前$M_2$静止于这个参考系。$M_1$以速度$\vec{v}_1$与$M_2$碰撞，碰撞之后，两粒子速度分别为$\vec{v}'_1$和$\vec{v}'_2$，与$\vec{v}_1$的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$。

实验室参考系

碰撞过程在一个平面内进行，在此平面内，我们可以以$\vec{v}_1$方向为$x$轴正方向，垂直于$x$轴建立$y$轴。

根据动量守恒定律有

\begin{equation} M_1v_1=M_1v'_1\cos\theta_1+M_2v'_2\cos\theta_2 \label{momentumconsx} \end{equation}

\begin{equation} 0=M_1v'_1\sin\theta_1+M_2v'_2\sin\theta_2 \label{momentumconsy} \end{equation}

根据机械能守恒，有

\begin{equation} \frac{1}{2}M_1v_1^2=\frac{1}{2}M_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}M_2{v'}_2^2 \label{energycons} \end{equation}

由以上三式就可求出我们感兴趣的任何量，不过会很繁琐，比如求$\theta_1$的取值范围。

但是，在质心参考系中会就会简洁得多，而且更有启发性。

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动量守恒定律一般由牛顿定律来推导，《伯克利物理学教程·力学》只用伽利略不变性推导了动量守恒定律。即得到动量守恒定律不必用到牛顿定律。

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一个暖洋洋的傍晚，莱尼和乔治懒洋洋地躺在草坪上，看着夜空漫天繁星。
“乔治，给我说说星星吧，它们是质点吗？”
“一定程度上是，莱尼。”
“它们为啥不动呢？”
“它们在动，只是彼此相距太远，我们看不出来它们相对彼此在动。”
“星星那么多，乔治，你觉得拉普拉斯那哥们能计算出它们的运动吗？”

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