计算两函数积的高阶导数——广义莱布尼茨公式

\begin{equation*} [f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} = \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) = \sum _{k = 0} ^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) \end{equation*}
其中令$f^{(0)}(x)=f(x)$。用归纳法证明如下:
\begin{equation*} [f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} = \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) = \sum _{k = 0} ^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) \end{equation*}
其中令$f^{(0)}(x)=f(x)$。用归纳法证明如下:
一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
---|---|---|---|---|---|---|
  |   |   |   |   | 1 | 2 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
24 | 25 | 26 | 27 | 28 |   |   |