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耶鲁基础物理2.5位置矢量$\boldsymbol r$的导数



图2.5 质点沿着一曲线路径运动，$t$时刻位于$\boldsymbol r$处，$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$，$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行，当$\Delta t \to 0$时，速度方向沿曲线切线方向。

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耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢



有一个矢量，它的分量分别为3和5，你能表示出这个矢量吗？

你会马上给出答案：$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。

你给出这个答案的时候，你已经隐含着一个假设，我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴，并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是，就不能建立一套新的坐标轴吗？

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耶鲁基础物理2.3单位矢量



回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量，单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，分别指向$x$轴和$y$轴的正方向，长度为1，如图2.3所示。

如果还有$z$轴，它与纸面垂直，会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。



图2.3 单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，它们可用以表示出任一矢量$\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j$。

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耶鲁基础物理2.2 二维矢量



接下来，我们在更高维空间研究运动。

现实世界中，万物都在三维空间运动。

我们先把二维空间讲明白。

我们研究问题，一个好方法是，先研究最简单的情况，搞懂之后，心里有底了，再逐渐增大难度。

一维和二维运动差异很大，而二维和更高维之间的差异却不大。

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用矢量证明余弦定理和正弦定理



三个矢量表示三角形三条边

如上图所示，三角形三条边边长分别为$a$、$b$、$c$，它们所对的角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$，沿三条边分别赋予矢量$\mathbf a$、$\mathbf b$、$\mathbf c$，在上图中$\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$。根据矢量运算可证明余弦定理和正弦定理。

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Essential University Physics 20.4 电荷分布的电场

20.4 电荷分布的电场

既然电场力满足叠加原理，那么电场也满足叠加原理。一个电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的矢量和。

\begin{equation}
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\cdots=\sum_i\vec{E}_i=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^2}\hat{r}_i \quad (电场满足叠加原理)
\tag{20.4}\label{20.4}
\end{equation}

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矢量公式

一般运算

$\vec{\mathrm A}\cdot(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot\vec{\mathrm C}=\vec{\mathrm C}\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})\cdot\vec{\mathrm B}=\vec{\mathrm B}\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})$

$\vec{\mathrm A}\times(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=\vec{\mathrm B}(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})-\vec{\mathrm C}(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})$

$(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm D})=(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm D})-(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm D})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm C})$

和之导数

$\nabla(f+g)=\nabla f + \nabla g$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\cdot\vec{\mathrm A}+\nabla\cdot\vec{\mathrm B}$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\times\vec{\mathrm A}+\nabla\times\vec{\mathrm B}$

积之导数

$\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$
$\nabla(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}\times(\nabla\times \vec{\mathrm B})+\vec{\mathrm B}\times(\nabla\times \vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+\vec{\mathrm A}\cdot\nabla f$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm B}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm B})$
$\nabla\times(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\times\vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\times\nabla f$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}(\nabla\cdot\vec{\mathrm B})-\vec{\mathrm B}(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}-(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}$

二阶导数

$\nabla\times(\nabla\times\vec{\mathrm A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})-\nabla^2\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{\mathrm A})=0$
$\nabla\times(\nabla f)=0$

积分定理

$\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}(\nabla f)\cdot d\vec{l}=f(\mathrm b)-f(\mathrm a)$
$\int_V(f\nabla^2g-g\nabla^2f)dV=\oint_S(f\nabla g-g\nabla f)\cdot\hat{n}dS$
高斯散度定理：
$\int_V\nabla\cdot\vec{\mathrm A}dV=\oint_S\vec{\mathrm A}\cdot\hat{n}dS$
斯托克斯定理
$\int_S(\nabla\times\vec{\mathrm A})\cdot\hat{n}dS=\oint_C\vec{\mathrm A}\cdot d\vec{l}$

理论物理极础



全书中文翻译。改正了书中的一些错误。