用矢量证明余弦定理和正弦定理

三个矢量表示三角形三条边
如上图所示,三角形三条边边长分别为$a$、$b$、$c$,它们所对的角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$,沿三条边分别赋予矢量$\mathbf a$、$\mathbf b$、$\mathbf c$,在上图中$\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$。根据矢量运算可证明余弦定理和正弦定理。
如上图所示,三角形三条边边长分别为$a$、$b$、$c$,它们所对的角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$,沿三条边分别赋予矢量$\mathbf a$、$\mathbf b$、$\mathbf c$,在上图中$\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$。根据矢量运算可证明余弦定理和正弦定理。
既然电场力满足叠加原理,那么电场也满足叠加原理。一个电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的矢量和。
\begin{equation}
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\cdots=\sum_i\vec{E}_i=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^2}\hat{r}_i \quad (电场满足叠加原理)
\tag{20.4}\label{20.4}
\end{equation}
$\vec{\mathrm A}\cdot(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot\vec{\mathrm C}=\vec{\mathrm C}\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})\cdot\vec{\mathrm B}=\vec{\mathrm B}\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})$
$\vec{\mathrm A}\times(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=\vec{\mathrm B}(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})-\vec{\mathrm C}(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})$
$(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm D})=(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm D})-(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm D})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm C})$
$\nabla(f+g)=\nabla f + \nabla g$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\cdot\vec{\mathrm A}+\nabla\cdot\vec{\mathrm B}$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\times\vec{\mathrm A}+\nabla\times\vec{\mathrm B}$
$\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$
$\nabla(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}\times(\nabla\times \vec{\mathrm B})+\vec{\mathrm B}\times(\nabla\times \vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+\vec{\mathrm A}\cdot\nabla f$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm B}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm B})$
$\nabla\times(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\times\vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\times\nabla f$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}(\nabla\cdot\vec{\mathrm B})-\vec{\mathrm B}(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}-(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}$
$\nabla\times(\nabla\times\vec{\mathrm A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})-\nabla^2\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{\mathrm A})=0$
$\nabla\times(\nabla f)=0$
$\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}(\nabla f)\cdot d\vec{l}=f(\mathrm b)-f(\mathrm a)$
$\int_V(f\nabla^2g-g\nabla^2f)dV=\oint_S(f\nabla g-g\nabla f)\cdot\hat{n}dS$
高斯散度定理:
$\int_V\nabla\cdot\vec{\mathrm A}dV=\oint_S\vec{\mathrm A}\cdot\hat{n}dS$
斯托克斯定理
$\int_S(\nabla\times\vec{\mathrm A})\cdot\hat{n}dS=\oint_C\vec{\mathrm A}\cdot d\vec{l}$
一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
---|---|---|---|---|---|---|
  |   |   |   | 1 | 2 | 3 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
25 | 26 | 27 | 28 |   |   |   |