标量、矢量和笛卡尔张量的解析定义
设$(x_1,x_2,x_3)$和$(x'_1,x'_2,x'_3)$是两个固定的笛卡尔坐标系，二者之间的变换关系为：
\begin{equation} x'_i=\beta_{ij}x_j \label{x'x} \end{equation}
逆变换为：
\begin{equation} x_i=\beta_{ji}x'_j \label{xx'} \end{equation}
某量是标量、矢量还是笛卡尔张量，取决于该量的分量是如何用$x_1,x_2,x_3$来定义的，以及如何随坐标系变换而变换的。
标量只有一个分量，$\Phi(x_1,x_2,x_3)$，坐标系变换后，$\Phi(x_1,x_2,x_3)$变为$\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3)$，有如下关系：
\begin{equation} \Phi(x_1,x_2,x_3)=\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3) \label{scalar} \end{equation}
矢量，或一阶张量，有三个分量，$\xi_i$，坐标系变换后，$\xi_i(x_1,x_2,x_3)$变为$\xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)$，有如下关系：
\begin{equation} \begin{cases} \xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ik} \\ \xi_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi'_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ki} \end{cases} \label{vector} \end{equation}
推广到两个下标，这样的量有9个分量，称为二阶张量，满足如下关系：
\begin{equation} \begin{cases} t'_{ij}(x'_1,x'_2,x'_3)=&t_{mn}(x_1,x_2,x_3)\beta_{im}\beta_{jn} \\ t_{ij}(x_1,x_2,x_3)=&t'_{mn}(x'_1,x'_2,x'_3)\beta_{mi}\beta_{nj} \end{cases} \label{tensor} \end{equation}
可以进一步推广至更高阶张量。
这里张量的定义基于由一个笛卡儿直角坐标系转换到另一个笛卡儿直角坐标系，这样定义的张量称为笛卡儿张量。
