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耶鲁基础物理3.3第二定律的两个应用



我们回到弹簧。若伸长量为$x$,弹簧所施加的力$F(x)$有多大?这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值,说明弹簧被拉伸,如果$x$是负值,说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$,可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度,根据$F=ma$,可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量,测量出一系列$F(x)$,可画出相应的曲线。当$x$比较小时,这条曲线将是斜率为$-k$的直线,即

\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}

其中,$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思?

负号表明,如果向右拉伸弹簧,$x>0$,$F(x)<0$,表示弹簧所施加的力将向左,如果向左压缩弹簧,$x<0$,$F(x)>0$,弹簧所施加的力将向右。



图3.1 (左图)劲度系数为$k$的弹簧(虚线)一端系有质量为$m$的物体,另一端固定在墙上,物体的位移$x$是相对弹簧的平衡位置测量的。(右图)力$F(x)$随$x$变化的函数关系。

两个方程,$F=ma$和$F=-kx$,第一个表示牛顿定律,第二个表示什么?两个方程有何区别?

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耶鲁基础物理3.1牛顿运动定律概述



今天是你生命中的一个重要的日子:你将学习牛顿定律。借助这个定律,你可以明白和解释大量的现象。海量的知识都可归结到三条定律之中。实在令人惊奇!

也许,你觉得:我中学已经学过牛顿定律了,而且会用。对于我来说,经历了生命中相当长的时间后,才意识到这些定律远远比 初次见到它们时所想象得要深奥得多。

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耶鲁基础物理2.6圆周运动



现在,我们用微分运算来讨论一个具体例子。

某质点运动学方程如下:

\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}

其中,$R$和$\omega$是常数。

这个质点做什么运动?

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耶鲁基础物理2.5位置矢量$\boldsymbol r$的导数



图2.5 质点沿着一曲线路径运动,$t$时刻位于$\boldsymbol r$处,$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$,$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行,当$\Delta t \to 0$时,速度方向沿曲线切线方向。

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耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢



有一个矢量,它的分量分别为3和5,你能表示出这个矢量吗?

你会马上给出答案:$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。

你给出这个答案的时候,你已经隐含着一个假设,我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴,并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是,就不能建立一套新的坐标轴吗?

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耶鲁基础物理2.3单位矢量



回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量,单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,分别指向$x$轴和$y$轴的正方向,长度为1,如图2.3所示。

如果还有$z$轴,它与纸面垂直,会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。



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耶鲁基础物理2.2 二维矢量



接下来,我们在更高维空间研究运动。

现实世界中,万物都在三维空间运动。

我们先把二维空间讲明白。

我们研究问题,一个好方法是,先研究最简单的情况,搞懂之后,心里有底了,再逐渐增大难度。

一维和二维运动差异很大,而二维和更高维之间的差异却不大。

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