广义莱布尼茨公式：

\begin{equation*} [f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} = \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) = \sum _{k = 0} ^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) \end{equation*}

用归纳法证明如下：

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4阶泊松-费米方程为：

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi4} \end{equation}

\begin{equation} \delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\phi=0 \label{LPoisson-Fermi4} \end{equation}

这是一个高阶常系数线性常微分方程，下面给出解析解。

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布莱恩·葛林（Brian Greene，1963——），美国宇宙学家，弦理论家，哥伦比亚大学教授，著有多部科普畅销书，如The Elegant Universe、The Fabric of the Cosmos, The Hidden Reality。

想象一个这样的世界，万事万物之运行统一于一个科学原则，这一个科学原则可以解释生活中最大困惑，如从时空起源到万有引力，还可以解释生活中的小事，如白日梦。

现在想象一下，以上疑惑都可由貌似无穷无尽的肉眼不可见的振动的弦来解释。这些无穷小的细丝可能存在于基本粒子夸克中，夸克组成质子和中子，质子和中子组成元素周期表上的原子，进而编织起整个宇宙。

哦，这个想象出的世界是11维的，不是我们的现实世界的4维，即前后、左右、上下三个空间维度再加上一个时间维度。

物理学家布莱恩·葛林论称，我们真实所处的世界正是这个假想的世界，而非我们感受的现实世界。

葛林是超弦理论领域的领军人物（也是一位小有名气的娱乐艺人），从事超弦理论研究已有几十年。他是大统一理论的前沿的少数物理学家之一，大统一理论是阿尔伯特·爱因斯坦在他生命的最后30年里所未竟的梦想。

2017年，葛林与美国创价大学学生对话，纵论宇宙奥秘。

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常见于离子液体等带电软物质体系的4阶泊松-费米方程：

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi'''(0)=&0 \\ \phi(\infty)=&0\\ \phi'(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}

下面我们用bvp4c 解方程，重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。

依次取 $V_0=1, 10, 100$，解方程，程序如下：

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常见于离子液体等带电软物质体系的泊松-费米方程

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}

下面我们用bvp4c 解方程，重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。

依次取 $V_0=1, 10, 100$，解方程，程序如下：

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用语句 legend('-DynamicLegend') 和 hold all ，请看下面的例子：

x=0:.01:10;
plot(x, sin(x), 'DisplayName','sin');
legend('-DynamicLegend');
hold all;   % add new plot lines on top of previous ones
  plot(x, cos(x), 'DisplayName','cos');

数学方程不仅实用——很多还非常优美。许多科学家承认，他们经常喜欢特定的公式，不仅仅是因为它们的功能强大，还因为它们的形式优雅、简洁及其中所蕴涵的诗一般的真理。

当某些特别著名的方程，比如爱因斯坦的质能方程 $E=mc^2$, 在公众面前享誉极盛时，许多公众不那么熟悉的方程在科学家那儿却拥者甚众。 LiveScience 咨询了许多物理学家、天文学家和数学家，将他们喜爱的数学公式罗列如后：

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以文献Ions in Mixed Dielectric Solvents: Density Profiles and Osmotic Pressure between Charged Interfaces为例，说明将自由能看做作用量的处理手法。

体系如上图所示，电解质溶液受限于两带电平面，溶液中有A、B两种溶剂。

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