图4.4 （左图）一根轻绳跨过轻质滑轮与两个物体相连。（右图）受力分析图。

接下来的问题如图4.4所示。两个物体，质量分别为$m$和$M$（下文以$m$和$M$分别指称这两个物体），以绳子相连，绳子跨过一轻滑轮，滑轮位于斜面顶端。在进行数学运算之前，我们可以做出什么判断呢？如果$M>m$，我们能断定$M$会下滑吗？

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11月，日本动画《天气之子》热映，你看了吗？画面美不胜收，被赞为每一帧画面都是壁纸。观影的时候，享受艺术之美，感受少男少女的经历和情感，观影后，不妨做一些知识性思考……

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图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力，右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么？成心给学生找罪受？

不是为了难为学生，是为成就学生，这是入门的门票，学懂这个，才可能学懂更高层次的内容。

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参考文献：Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

在前一篇文章中，给出了Emden-Lane边值问题的变分迭代法。

Emden-Lane边值问题：

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

本文计算一下$\alpha=1$的Emden-Lane边值问题。

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参考文献：Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

Emden-Lane边值问题：

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

根据变分迭代法，得校正泛函：

\begin{equation} u_{n+1}(x)=u_n(x)+\int_0^x\lambda(s)\left( u_n''(s)+\frac{\alpha}{s}u_n'(s)-f(s,\widetilde{u}_n) \right) \mathrm ds \label{correctionalfunc} \end{equation}

其中，$\widetilde{u}_n$为限制变分$\delta \widetilde{u}_n=0$。

下面求$\lambda(s)$。

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参考文献：Applied Mathematics and Computation 118 (2001) 123-132

方程：

\begin{equation} y''(x)+2x\frac{y'(x)}{\sqrt{1-\alpha y(x)}}=0,\quad 0<\alpha <1 \label{eq} \end{equation}

边界条件：

\begin{equation} y(0)=1,\quad \lim_{x\to \infty}y(x)=0 \label{bd} \end{equation}

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图4.2 物体位于桌面上。左图中无摩擦力，右图中出现了摩擦力。如果物体静止，摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm s}$，如果物体滑动，摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm k}$。

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