将阿多米安多项式一种参数化算法推广至多变量情形。

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来源：Applicable Analysis and Discrete Mathematics 10(01):168-185

方法

\begin{equation} A_n(u_0,u_1,\cdots,u_n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}N\left(\sum_{k=0}^{n}u_ke^{ik\lambda} \right)e^{-in\lambda}\mathrm d\lambda \label{sm} \end{equation}

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继续讨论弹簧振子，它会不会按我们的解所预测的那样，永远地振动下去？

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冬天的雪总给人们带来无尽的乐趣，这种乐趣还通过社交媒体，传递给更多的人。飞雪漫舞、银装素裹，雪花集体带给人无尽美的享受，其实，雪花个体的美也很令人震撼。你要是不信，下次下雪的时候，穿上你的雪地靴，带上放大镜，近距离观察飘落的雪花。你要是等不及，本文让你先睹为快。

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物理学的目标是能够根据当前已知的事情预测未来。我来举一个非常简单的例子，看看牛顿定律是如何实现这个目标的。

图4.1 质量为$m$的物体与劲度系数为$k$的弹簧相连，虚线表示这个物体偏离平衡位置$x$远处。

如图4.1所示，在光滑桌面上有一个质量为$m$的物体，与劲度系数为$k$的弹簧相连，弹簧的另一端固定于静止的墙上。虚线表示这个物体正位于距离平衡位置$x$远处。我把这个物体拖动一段距离$A$，然后释放。以上就是我们所知道的全部。这个物体会如何运动？

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原文链接：Five innovative vehicles delivering the future of transportation
本文已发布于《世界科学》微信公众号。

从超级高铁到飞行的士，五大交通工具将改变我们的出行方式。

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图3.5 左图：电梯的加速度为$a$，一人站在弹簧秤上，虚线为秤的弹簧。右图：人和弹簧的受力分析。

现在我们看你在电梯里会发生什么。如图3.5所示，电梯地板上有个弹簧秤，你站在秤上。电梯加速度是$a$，为正数（表示方向向上）。秤的读数为何？

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牛顿第三定律的内容是：有1、2两个物体，2对1的作用力$\boldsymbol F_{12}$与1对2的作用力$\boldsymbol F_{12}$大小相等方向相反，即

\begin{equation} \boldsymbol F_{12}=-\boldsymbol F_{21} \label{3.9}\tag{3.9} \end{equation}

下面谈谈这个定律的应用。

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根据上图，三角形A占据了$13\times 5$个格，面积$32.5$，将三角形调整一下，得三角形B，占据的格数却少了一个，面积变成31.5。

下面的动图，可以看得更清楚：

问题出在哪里？

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我们回到弹簧。若伸长量为$x$，弹簧所施加的力$F(x)$有多大？这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值，说明弹簧被拉伸，如果$x$是负值，说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$，可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度，根据$F=ma$，可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量，测量出一系列$F(x)$，可画出相应的曲线。当$x$比较小时，这条曲线将是斜率为$-k$的直线，即

\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}

其中，$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思？

负号表明，如果向右拉伸弹簧，$x>0$，$F(x)<0$，表示弹簧所施加的力将向左，如果向左压缩弹簧，$x<0$，$F(x)>0$，弹簧所施加的力将向右。

图3.1 （左图）劲度系数为$k$的弹簧（虚线）一端系有质量为$m$的物体，另一端固定在墙上，物体的位移$x$是相对弹簧的平衡位置测量的。（右图）力$F(x)$随$x$变化的函数关系。

两个方程，$F=ma$和$F=-kx$，第一个表示牛顿定律，第二个表示什么？两个方程有何区别？

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