勒让德多项式递推公式的证明



梁昆淼《数学物理方法》给出了勒让德多项式 6 个递推公式,3 个有证明,3 个没有证明。这里补充一下证明过程。

有证明的 3 个递推公式是:

\begin{equation}
(k+1)P_{k+1}(x)-(2k+1)xP_{k}(x)+kP_{k-1}(x)=0
\label{recursion1}
\end{equation}

\begin{equation} P_{k}(x)=P'_{k+1}(x)-2xP'_{k}(x)+P'_{k-1}(x) \label{recursion2} \end{equation}

\begin{equation} (2k+1)P_{k}(x)=P'_{k+1}(x)-P'_{k-1}(x) \label{recursion3} \end{equation}

没有证明的 3 个递推公式:

\begin{equation} P'_{k+1}(x)=(k+1)P_{k}(x)+xP'_{k}(x) \label{recursion4} \end{equation}

\begin{equation} kP_{k}(x)=xP'_{k}(x)-P'_{k-1}(x) \label{recursion5} \end{equation}

\begin{equation} (x^2-1)P'_{k}(x)=kxP_{k}(x)-kP_{k-1}(x) \label{recursion6} \end{equation}

现在开始证明。

\eqref{recursion2} 式与 \eqref{recursion3} 式相加除以 2,稍加整理,即得 \eqref{recursion4} 式。

\eqref{recursion3} 式减去 \eqref{recursion2} 式除以 2,即得 \eqref{recursion5} 式。

由 \eqref{recursion4} 式可得,

\begin{equation} P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)+xP'_{k-1}(x) \label{recursion7} \end{equation}

\eqref{recursion7}+$x$\eqref{recursion5},稍加整理,即得 \eqref{recursion6} 式。

下面再推导一个与 \eqref{recursion6} 式类似的递推公式。

由 \eqref{recursion5} 式可得,

\begin{equation} P'_{k}(x)=xP'_{k+1}(x)-(k+1)P_{k+1}(x) \label{recursion8} \end{equation}

\eqref{recursion8}+$x$\eqref{recursion4},稍加整理,得

\begin{equation} (x^2-1)P'_{k}(x)=(k+1)P_{k+1}(x)-(k+1)xP_{k}(x) \label{recursion9} \end{equation}

标签: 勒让德多项式

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