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耶鲁基础物理 7.3 行星轨道
我们来用万有引力定律研究一个简单的例子。
一个质量为$m$的行星绕太阳转，太阳的质量为$M$。因为$M\gg m$，太阳可视为不动。取太阳为参考系的原点，根据牛顿第二定律，有
$$ m\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm dt^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{e}_r \label{7.16}\tag{7.16} $$
式中$\hat{e}_r=\vec{r}/r$为单位向量，方向由太阳指向行星。
这个方程的解应该与开普勒定律一致，即行星沿椭圆轨道运行，它在相同时间内扫过相等的面积，周期的平方与其椭圆轨道半长轴的立方之比与行星的质量无关。
尽管这个方程几个世纪前就写出来和解出来了，但是，现在即便是学过更高等力学课程的学生解这个微分方程也得费很大的劲儿。把这个方程写下来是一回事，解出它并且得到椭圆轨道却是另外一回事。然而，牛顿在几百年前就完成了所有这些工作。
你列出了方程\eqref{7.16}，但是得不到这个方程的解，就是说，尽管你推测出来了的万有引力定律，但是却不能判定它是否正确，也不能使他人信服。
这倒不是什么稀罕的事情。以夸克理论为例，我们相信质子、中子等微观粒子由夸克组成。我们认为已经知道了其基本运动方程及其夸克间的作用力。但是，到现在为止，我们还无法给出解析解，证明根据这些方程可以解释观察到的现象和粒子。然而，利用大型计算机做近似计算，我们相当地肯定，经过若干年的工作后，差不多可以确定这些方程是正确的。一个新的理论如果要被接受，它的重要结论必须被准确地或者近似地推导出来，并且必须在可接受的精度内与实验一致。
回到刚才的问题，我们先不去证明，一般情况下的行星轨道是椭圆，而是讲一个特例——圆轨道。
耶鲁基础物理 7.2 万有引力
牛顿提出的运动定律是，力与加速度，而非速度，联系在一起。如果你观察一颗运 动的行星，认为它由于受到了力的作用而具有了速度，那么，你对力的含义没有把握到位。另一方面，如果计算行星的加速度，你就会发现，在任意时刻，加速度都 是指向太阳的。如果所有行星的加速度都指向太阳，那么，显然，加速度就是太阳造成的。于是，自然会想到太阳对行星有力的作用，使行星轨道弯曲成一个椭圆，问题了，找到这个力，看看这个力有什么性质？
耶鲁基础物理 7.1 开普勒定律
现在， 我们讨论与保守力相关的一个最著名问题：天体在万有引力作用下的运动。
这是我们处理问题方面重大的飞跃，超越斜面、滑轮等等诸如此类的问题，我们将了解行星是如何围绕太阳运转的。这是一个很大很大的问题，对吧？方程里的$m$不再是滑轮或者小物块的质量，而是木星与太阳的质量。
我们将要求解宇宙学尺度上的问题，还要学很多知识吗？
不需要，已经掌握的知识差不多够了。
引力波秘史
两个黑洞合并，扰动空间，产生了引力波，引力波跨越10亿光年的浩瀚距离，抵达地球，被人类直接观测到。2016年2月11日，美国激光干涉引力波天文台(LIGO)宣布了这一消息。消息传来，世界各地的科学家们喜大普奔。宇宙学共同体的许多成员等待这个消息已等了大半生，有人当时甚至热泪盈眶。
LIGO的这一成就还马上激发了公众的想象力，从那个历史性的2月那一天开始，引力波天文学一直是新闻话题。新增引力波探测事件陆续发布。最突出的事件是，在2017年8月17日，LIGO记录了两颗中子星碰撞产生的引力波。为了表彰LIGO的成功，项目负责人获得了2017年诺贝尔物理学奖。在这一波波新闻中，广被重复的一句话“引力波是爱因斯坦在一个世纪前根据他的广义相对论首次预言的。”好像是为这项研究盖棺论定。
如果只为兜售一个复杂的故事，这种说法可能是有用的，但它实际上抹去了整个历史背景。与传统观点相反的是，爱因斯坦并不是20世纪初唯一一个试图建立引力场的现代描述的物理学家。事后看来，我们可以说，几乎所有的引力理论都能预测引力波，只要它认为对引力场的扰动必须以有限速度传播。
此外，爱因斯坦本人并没有立即得出明确的结论。在1916年完成了广义相对论之后，他最初对引力波的概念弃之如敝屣，而他的第一篇关于这一主题的论文却错得离谱。爱因斯坦很快就又回到了正确的轨道，但二十年后，他却认为引力波没有物理实在性，并且此后余生中一直对引力波持怀疑态度。
就像大多数科学概念一样，引力波概念也是经过许多科学家的共同工作，历经多年岁月，才逐渐形成。那些科学家既不天真幼稚，也不剽窃抄袭。他们只是为解决一个长期公认的问题，共同努力，有时友好协作，有时较劲竞争。在努力研究过程中，他们不大认为自己的工作是革命性的，而更可能认为是渐进性的。
引力波是由猛烈的天文事件产生的，比如黑洞或中子星碰撞。这张全天星图上的彩色斑块处正是第一个探测到的引力波信号的位置。
理论物理极础附录：有心力和行星轨道
莱尼弯下腰，从望远镜的目镜凝视望去。这是他第一次看望远镜。他看到了土星环，惊叹土星环之美。“乔治，你看过土星环吗？”
乔治点头说：“是的，我看过了。”
莱尼抬起头，继续问：“土星环怎么形成的？”
乔治说：“正如地球绕着太阳转圈圈。"
莱尼说：“那地球怎么转起来的？”
牛顿壳层定理
经典力学里，牛顿给出和证明了壳层定理：
- 考察球对称质量均匀分布的物体与球体外一物体之间的万有引力，可以将球对称物体质量视为集中于球心。
- 球对称质量均匀分布的物体与其内部的物体之间的万有引力为0。
下面给出证明。