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弱聚电解质微凝胶的泊松-玻尔兹曼-弗洛里理论
聚电解质刷的泊松-玻尔兹曼-弗洛里理论
轴对称体系泊松-玻尔兹曼方程的解
体系为无限长带电圆柱，电荷线密度为$\lambda$，无外加盐。泊松-玻尔兹曼方程形式为
\begin{equation*} y''+\frac{y'}{r}=\kappa^2 e^y \end{equation*}
边界条件为
\begin{equation*} \begin{split} y'(r_0)&=-2\frac{\xi}{r_0} \\ y'(R)&=0 \end{split} \end{equation*}
其中$\xi=\lambda l_B/e$。
方程的解为
\begin{equation*} y(r)=-2\ln\left [\frac{\kappa r}{\sqrt{2}\gamma}\cos\left (\gamma\ln\frac{r}{R_M} \right ) \right ] \end{equation*}
其中常数由边界条件确定，满足
\begin{equation*} \begin{split} \gamma\ln\frac{r_0}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1-\xi}{\gamma} \right )\\ \gamma\ln\frac{R}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1}{\gamma} \right ) \end{split} \end{equation*}