质心参考系中处理两个粒子的弹性碰撞
《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面
本文内容整理自《伯克利物理学教程·力学》。
考虑两个粒子弹性碰撞问题。两个粒子质量分别为$M_1$和$M_2$,$M_1$与$M_2$碰撞,碰撞之后,$M_1$运动方向相对于原运动方向偏转一个角度$\theta_1$(也称散射角)。我们求一下$\theta_1$的取值范围。
不失一般性,选定一个这样的参考系(实验室参考系),碰撞之前$M_2$静止于这个参考系。$M_1$以速度$\vec{v}_1$与$M_2$碰撞,碰撞之后,两粒子速度分别为$\vec{v}'_1$和$\vec{v}'_2$,与$\vec{v}_1$的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$。
实验室参考系
碰撞过程在一个平面内进行,在此平面内,我们可以以$\vec{v}_1$方向为$x$轴正方向,垂直于$x$轴建立$y$轴。
根据动量守恒定律有
\begin{equation} M_1v_1=M_1v'_1\cos\theta_1+M_2v'_2\cos\theta_2 \label{momentumconsx} \end{equation}
\begin{equation} 0=M_1v'_1\sin\theta_1+M_2v'_2\sin\theta_2 \label{momentumconsy} \end{equation}
根据机械能守恒,有
\begin{equation} \frac{1}{2}M_1v_1^2=\frac{1}{2}M_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}M_2{v'}_2^2 \label{energycons} \end{equation}
由以上三式就可求出我们感兴趣的任何量,不过会很繁琐,比如求$\theta_1$的取值范围。但是,在质心参考系中会就会简洁得多,而且更有启发性。