从罗巨格公式推导勒让德多项式的递推关系

勒让德多项式的递推关系一般书上都是从生成函数推导，其实也可以从勒让德多项式的微分表示推导得到。

参考链接：Legendre Polynomials: Rodriques’ Formula and Recursion Relations

勒让德多项式的微分表示：

\begin{equation*} P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \end{equation*}

这个公式叫做 Rodriques’ Formula，吴崇试的书称为罗巨格公式，梁昆淼的书称为罗德里格斯公式，还有书称为罗德里格公式。为什么不统一一下？《物理学名词》压根没收录这个词。

首先我们记得函数积的求高阶导法则

\begin{equation*} \frac{d^l}{dx^l}(fg)=\sum_{k=0}^l\frac{l!}{k!(l-k)!}\frac{d^kf}{dx^k}\frac{d^{l-k}g}{dx^{l-k}} \end{equation*}

令 $g=x^2-1$，得如下特例：

\begin{equation*} \frac{d^l}{dx^l}[(x^2-1)f]=(x^2-1)\frac{d^l}{dx^l}f+2lx\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}f+l(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}f \end{equation*}

对罗巨格公式求导：

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=&\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{2^{l+1}(l+1)!}\frac{d^{l+1}}{dx^{l+1}}(x^2-1)^{l+1}\right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{d^2}{dx^2}\left \{\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}[(x^2-1)(x^2-1)^l] \right \}\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^2}{dx^2}\left [(x^2-1)\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l+2lx\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^2-1)^l+l(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}(x^2-1)^l \right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\left \{\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)\frac{d}{dx}P_l(x)\right]+2P_l(x)+2x\frac{d}{dx}P_l(x)+2lx\frac{d}{dx}P_l(x)+4lP_l(x)+l(l-1)P_l(x) \right \}\\\\ =& \frac{1}{2(l+1)}\left [ l(l+1)P_l(x)+2P_l(x)+4lP_l(x)+l(l-1)P_l(x)+2(l+1)x\frac{d}{dx}P_l(x)\right ]\\\\ =& \frac{1}{2(l+1)}\left [ 2(l+1)^2P_l(x)+2(l+1)x\frac{d}{dx}P_l(x)\right ] \end{split} \end{equation*}

上式倒数第二个等号，用到 $\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)\frac{d}{dx}P_l(x)\right]=l(l+1)P_l(x)$，这是勒让德方程。

根据上式最后一个等号，可得如下递推公式：

\begin{equation*} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=(l+1)P_l(x)+2x\frac{d}{dx}P_l(x) \end{equation*}

下面我们再导出一个递推公式。

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=&\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{2^{l+1}(l+1)!}\frac{d^{l+1}}{dx^{l+1}}(x^2-1)^{l+1}\right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^{l+1} \right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [4l(l+1)x^2(x^2-1)^{l-1} +2(l+1)(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [2l(x^2-1+1)(x^2-1)^{l-1} +(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [2l(x^2-1)^{l-1} +(2l+1)(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{d}{dx}P_{l-1}(x)+(2l+1)P_l(x) \end{split} \end{equation*}

即得递推关系：

\begin{equation*} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)-\frac{d}{dx}P_{l-1}(x)=(2l+1)P_l(x) \end{equation*}