耶鲁基础物理4.6连接体



接下来的问题如图4.4所示。两个物体,质量分别为$m$和$M$(下文以$m$和$M$分别指称这两个物体),以绳子相连,绳子跨过一轻滑轮,滑轮位于斜面顶端。在进行数学运算之前,我们可以做出什么判断呢?如果$M>m$,我们能断定$M$会下滑吗?

不,要取决于斜面倾角。

$mg$竖直向下,而$M$的重力只有一部分,$Mg\sin\theta$,对下滑起作用。我们可以肯定的是,对于一个确定的$\theta$,当$M\to\infty$时,$M$会沿斜面下滑,而当$\theta\to 0$时,$m$会竖直向下运动。现在,我们来搞明白发生这种转变的条件是什么。

现在开始我们的分析。

$m$沿着竖直方向上下移动,$M$沿着斜面移动,没办法选择一个坐标系,使二者的运动都显得简单。对于$M$,在垂直斜面的方向上,牛顿第二定律给出乏味的等式$N=Mg\cos\theta$,我们主要关注沿着斜面方向的运动。我们前面的章节讨论过,绳子两端对物体施加的力大小都是$T$。我们稍后再解释这一点。

对于$M$,沿斜面方向列出的方程为:

\begin{equation} Mg\sin\theta-T=Ma \label{4.29}\tag{4.29} \end{equation}

对于$m$,沿竖直方向列出的方程为:

\begin{equation} T-mg=ma \label{4.30}\tag{4.30} \end{equation}

式中,两物体加速度都用$a$表示,不是说两物体加速度是相同的矢量,它们的方向都不一样,这里用$a$表示的是两个物体的加速度沿各自运动方向的分量,正方向是这样规定的:$M$沿斜面下滑为正,$m$以向上为正。因为绳子没有弹性,$m$向上运动多少,$M$沿斜面下滑多少,因此,两个物体的加速度的大小总是相等的。

\eqref{4.29}和\eqref{4.30}两式相加:

\begin{equation} Mg\sin\theta-mg=Ma+ma \label{4.31}\tag{4.31} \end{equation}

得加速度:

\begin{equation} a=g\frac{M\sin\theta-m}{M+m} \label{4.32}\tag{4.32} \end{equation}

这个结果合理吗?从中能看出什么?

要保证$M$下滑$m$上升,即$a$取正值,$M>m$这个条件是不够的,所需条件是$M\sin\theta>m$,因为只有$Mg$的一个分力$Mg\sin\theta$使$M$下滑,另一个分力$Mg\cos\theta$的效果是使物体能够压在斜面上,而且被支持力$N$平衡掉了。

如果$a<0$,表示的是什么情形?

表示$M$沿斜面上滑,$m$竖直下降。

此时,$a$的表达式还是\eqref{4.32}式吗?毕竟,我们推导的时候是按$M$下滑$m$上升来推导的。

\eqref{4.32}式依然适用。即使物体的运动方向变了,但我们画的力并没有变,方程不变,得到的解当然也不变。但是,如果有摩擦力存在,你就要当心了,你必须先设定质点的运动方向,继而再确定摩擦力的符号。摩擦力与速度方向相反。

现在我们考虑这样一个问题:为什么搭在滑轮上的绳子两端的力大小相等?

假设滑轮质量不计,且绳子不打滑,也就是当物体运动起来,跨在滑轮上的绳子运动时,滑轮必须在与绳子没有相对滑动的情况下转动。在这种情况下,可以将与滑轮以及与之接触的这部分绳子视作一个整体(与自行车链条与驱动轮的齿啮合在一起类似)。根据图4.4中的受力图,绳子两端的拉力使滑轮的转动趋势是相反的,如果这两个趋势不能精确地平衡,即绳子两端的拉力不相等,滑轮又几乎没有质量,它的转动加速度将无穷大,又绳子不打滑,两个物体的加速度也将无穷大,但这是不可能的,因为它们的质量不是零且所受的力也是有限大的。所以,绕过滑轮的绳子两端的拉力是等大的。我们后面会再讨论滑轮有质量时的情形。

还要注意,尽管绳子两端的力所造成的转动效应抵消了,但它们的矢量和不是零,因而会使滑轮产生线加速度,由于滑轮的转轴提供了一个大小相等方向相反的力,所以这个线速度并未出现。幸运的是,转轴施加的力对滑轮转动毫无影响。

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