耶鲁基础物理5.1能量概论 5.2动能定理



5.1 能量概论

能量守恒定律是一条生命力顽强的定律。当适用于亚原子范围的量子力学问世后 ,牛顿力学许多弥足珍贵的概念都被抛弃了。你有所了解吗?

比如,在量子世界,粒子不再有确定的位置和 速度,粒子并不沿着连续的轨道运动。你的生活经验和牛顿力学告诉你,粒子两次现身之间一定有一条连续的轨道相连,但是,在量子世界里,事实不是这样的。

在量子世界,牛顿力学许多思想都被抛弃了,然而,能量守恒观点却经受住了量子革命的考验而幸存下来。

曾经,人们在研究核反应时,发现核反应前后能量似乎不同。尼尔斯•玻尔,量子之父之一,提出能量守恒或许在量子理论中不再成立。然而,沃尔夫冈•泡利却相信能量守恒依然是成立的,他推测,核反应还会产生某种尚未被探测到的微小中性粒子,丢失的能量被它带走了。

那个时代,这是一个激进的观点,那时的人们并不轻易地就推测有新的粒子存在,不像现在,研究粒子物理,不推测出几个新粒子,出门都不好意思跟人打招呼。

泡利做出预言很多年后,1959年,实验上发现了泡利预言的新粒子,命名为中微子。今天的物理学里,中微子是最令人兴奋、最难以捉摸、最神秘的东西之一,是揭开许多宇宙之谜的演示。

我们将从一维运动开始,先得到动能定理,再推导出能量守恒定律。

耶鲁基础物理5.2动能定理

物体沿$x$轴做一维运动,受到外力$F$,我们来求一求在力作用的一段时间间隔内,物体初末时刻速度与它走过的位移之间的关系。

先考虑一个特殊的情形,力$F$为恒力,不随时间变化,它产生的加速度是$a=F/m$,也是恒定的。在第一章,我们得到过这样一个公式:

\begin{equation} v^2=v_0^2+2a(x-x_0) \label{5.1}\tag{5.1} \end{equation}

其中,$v$和$x$分别是末时刻的速度和位置坐标,$v_0$和$x_0$是初时刻的速度和位置坐标。

在运动学中,我们不会问“为什么物体加速度会恒定呢?”我们只是被告知:“物体的加速度恒定,看看接下来会发生什么?”我们现在学了动力学,知道物体之所以有加速度,是因为受到了力的作用,$a=F/m$。把此式代入\eqref{5.1}式,并把初末时刻的量分别以1和2表示,得

\begin{equation} v_2^2=v_1^2+2\frac{F}{m}d \label{5.2}\tag{5.2} \end{equation}

其中$d=x_2-x_1$,是物体在这段时间内运动的位移。

由\eqref{5.2}式可知,力作用于物体,会改变物体的速度,速度的变化与在力的作用下物体运动的位移有关。这种变化并不是简单地与物体的速度相关,而是与速度的平方相关。

我们将\eqref{5.2}式中,与物体相关的量置于方程一边,与力相关的项置于方程另一边,得

\begin{equation} \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}v_1^2=Fd \label{5.3}\tag{5.3} \end{equation}

$\frac{1}{2}mv^2$称为动能,以符号$K$表示,$Fd$称为力做的,用$W$表示。动能和功的单位是焦耳,记作$\mathrm J$。

这样,我们就得到了动能定理的最简形式:

\begin{equation} K_2-K_1=Fd=W \label{5.4}\tag{5.4} \end{equation}

如果物体同时受到很多个力的作用,例如我在推你在拉,我们应该用哪个力呢?

用所有力的合力,牛顿第二定律就是合外力与加速度的关系。

动能定理说的是,动能的增量是所有力所做的功

我与你都对一个物体施加力的作用,我在推你在拉,如果推力和拉力相等,那么就没有加速度,物体的速度就没有变化,动能没有变化,合外力做功是零,推力和拉力做功互相抵消,即推力和拉力做的功一正一负。那么,功什么时候是正的,什么时候是负的?

如果物体向右运动,我施加的力也向右,那么,我做的功就是正的,而如果你的力向左,你的功就是负的。

力如果与物体运动方向相同,做功为正,力如果与物体运动方向相反,做功为负。

我以恒定的速度从地上捡起一支粉笔,粉笔的动能没有改变,说明整个过程中,合外力做功为零,而不是说没有力作用在粉笔上。

粉笔有重力$mg$,方向竖直向下,那么我对粉笔施加的力的大小也是$mg$,方向竖直向上。我将粉笔捡起,我做功为正,粉笔也向上运动,设粉笔上升高度为$h$,我做的功是$mgh$,与此同时,重力做功$-mgh$,两外力做功之和为零。

我们设某物体在时间间隔$\Delta t$内沿直线运动位移为$d=\Delta x$,\eqref{5.4}式两边除以$\Delta t$,然后取极限,得

\begin{equation} \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=Fv=P \label{5.5}\tag{5.5} \end{equation}

其中$P$定义为功率,它是功随时间的变化率,即做功的快慢。例如,我爬上12楼,做功就是我的重力$mg$乘以12楼的高度。我可以在1分钟爬上去,也可以用一小时爬上去。我做的功相同,但功率不同,功率量度的是做功的快慢。功的单位为瓦特,记作$\mathrm W$。

现在,我们看更一般的情况,力不是常量,而是随质点位置$x$变化。

哪些力是随x变化的?

弹簧是一个很好的例子,$F(x)=-kx$,万有引力也是。

如果力在变化,动能定理是怎样的?

让我们先画一个力$F(x)$随$x$变化的图像,如图5.1所示。力$F(x)$做的功不能用公式$W=Fd$来计算,因为力在质点走过位移$d$的过程中一直在变化。那该怎么计算力$F(x)$做的功?



图5.1 物体在变力F(x)的作用下运动了$\mathrm dx$的位移,变力做的功为$\mathrm dW=F(x)\mathrm dx$,数值上阴影部分面积。

借助微积分中的常用方法:取一个很小很小的宽度$\mathrm dx$,在这个范围内,力可看做是恒力,$F(x)$,即$x$处的力$F$的值。在这个极小的宽度内,动能的增量等于力$F$做的功:

\begin{equation} \mathrm dK=F(x)\mathrm dx \label{5.6}\tag{5.6} \end{equation}

从几何上看,$F(x)dx$是一个很窄的长方形的面积,这个长方形的宽为$dx$,高为$x$处的力$F$的值$F(x)$。(如果$F(x)\lt 0$,即力的方向与位移方向相反,面积将是负值,即力做负功。)如果质点从$x_1$运动到$x_2$,力做的功就是$x_1$到$x_2$这一段曲线下的面积。每一小段$\mathrm dx$上动能增量是$\mathrm dK$,将它们加起来,就得到动能增量$K_2-K_1$,力做的功就是积分$\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx$。

综上,一般的动能定理为

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx=W \label{5.7}\tag{5.7} \end{equation}

即使你没听说过积分,我给你一个函数,你也能算出积分。你在方格坐标纸上画出函数的图像,然后数出曲线下面的小方格的数目,算出面积,就是力做的功,即动能增量。积分不过是函数曲线与坐标轴所围区域的面积而已。

现在,我们稍微跑题一下,介绍一个求面积的绝招。

你给我一个函数,让我计算函数下方从$x_1$到$x_2$的面积,用我的绝招,我不需要用坐标纸画出函数曲线。要做的是找到一个函数$G(x)$,满足

\begin{equation} F(x)dx=\frac{\mathrm dG(x)}{\mathrm dx} \label{5.8}\tag{5.8} \end{equation}

那么,我会得到

\begin{equation} \int_{x_1}^{x_2}F(x)dx=G(x_2)-G(x_1) \label{5.9}\tag{5.9} \end{equation}

这是微分的逆过程:现在,我希望找到一个函数,它的导数是$F(x)$。

比如,$F(x)=x^3$,那么$G(x)$是这样一个函数,它的导数是$x^3$。怎么猜出$G(x)$?

应该从$x^4$开始猜,因为求导可以使其指数降低。但是$x^4$求导,前面会多出一个因子$4$,要去掉这个$4$,我可以预先在$x^4$下面放上分母$4$,得到$G(x)=x^4/4$。

你可能马上提出,还应该加上一个常数$c$。其实,我们不需要为这个常数$c$烦恼,计算$G(x_2)-G(x_1)$时,常数$c$消失。后面会讲到,对于弹簧弹力、万有引力等,我们会选择合适的常数c,便于我们处理问题,就像我们处理抛体运动时选择坐标原点一样,怎么方便处理问题怎么选。

为什么$G(x)$的导数是$F(x)$?$G(x)$是什么鬼?

$G(x)$是从某个任意值$x_0$到$x$这个范围内$F(x)$曲线所覆盖的面积。如果我增加一小块面积,扩展到$x+\mathrm dx$,增加的面积是$F(x)dx$,根据定义,面积增量正是$\mathrm dG$,因此$\mathrm dG=F(x)\mathrm dx$,两边除以$\mathrm dx$,有$F(x)=\mathrm dG/\mathrm dx$。

不同的$G$为什么会差出一个常数?

因为起始点$x_0$不一样。但是不管你如何选$x_0$,$x$的变化导致的面积变化总可以写成$\mathrm dG=F(x)\mathrm dx$。

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