变分迭代方法解半无限空间常微分方程
变分迭代方法（VIM）是中国数学家何吉欢发展的一种求非线性方程近似解的方法。具体方法见International Journal of Non-Linear Mechanics 34 (1999) 699—708。
本文以布拉修斯方程（Blasius equation）为例，介绍变分迭代方法解半无限空间常微分方程。
陶哲轩对数学学习的11条建议
来源：陶哲轩对数学学习一些建议
我没有取得数学研究和学术成功的“秘笈”(secret formula)或者“万金油”(one-size-fits-all prescription)。
然而，我可以给出一些一般(也很显然)的建议。
亲水、疏水、超疏水新定义
图1 接触角示意图
水与表面接触各种情形由各种接触角表示，如上图所示，静态接触角$\theta$、滑动角$\alpha0$、前进角$\theta_A$、后退角$\theta_R$。
静态接触角可定义表面为亲水、疏水、超疏水：
- 亲水对应于静态接触角$\theta < 90^{\circ}$
- 疏水对应于静态接触角$\theta > 90^{\circ}$
- 超疏水对应于静态接触角$\theta > 150^{\circ}$
接触角从$89^{\circ}$变化到$91^{\circ}$，这仅仅$2^{\circ}$的差异就将表面分成亲水的和疏水的，有什么道理？可有分子或驱动力方面的原因？
超疏水的定义更是随意定的。
能不能有更靠谱的定义？
水滴碰撞超疏水表面
本动图根据视频Droplet impact: Bouncing from beds of nails转化得到。
三角恒等式的几何证明
计算两函数积的高阶导数——广义莱布尼茨公式
\begin{equation*} [f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} = \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) = \sum _{k = 0} ^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) \end{equation*}
其中令$f^{(0)}(x)=f(x)$。用归纳法证明如下：
线性4阶泊松-费米方程的解
4阶泊松-费米方程为：
\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi4} \end{equation}
低电势极限下，$\phi \ll 1$，方程\eqref{Poisson-Fermi4}右边为 $\phi$，方程为\begin{equation} \delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\phi=0 \label{LPoisson-Fermi4} \end{equation}
这是一个高阶常系数线性常微分方程，下面给出解析解。
超弦大牛布莱恩·葛林与学生对话弦论
布莱恩·葛林（Brian Greene，1963——），美国宇宙学家，弦理论家，哥伦比亚大学教授，著有多部科普畅销书，如The Elegant Universe、The Fabric of the Cosmos, The Hidden Reality。
想象一个这样的世界，万事万物之运行统一于一个科学原则，这一个科学原则可以解释生活中最大困惑，如从时空起源到万有引力，还可以解释生活中的小事，如白日梦。
现在想象一下，以上疑惑都可由貌似无穷无尽的肉眼不可见的振动的弦来解释。这些无穷小的细丝可能存在于基本粒子夸克中，夸克组成质子和中子，质子和中子组成元素周期表上的原子，进而编织起整个宇宙。
哦，这个想象出的世界是11维的，不是我们的现实世界的4维，即前后、左右、上下三个空间维度再加上一个时间维度。
物理学家布莱恩·葛林论称，我们真实所处的世界正是这个假想的世界，而非我们感受的现实世界。
葛林是超弦理论领域的领军人物（也是一位小有名气的娱乐艺人），从事超弦理论研究已有几十年。他是大统一理论的前沿的少数物理学家之一，大统一理论是阿尔伯特·爱因斯坦在他生命的最后30年里所未竟的梦想。
2017年，葛林与美国创价大学学生对话，纵论宇宙奥秘。
4阶泊松-费米方程数值求解
常见于离子液体等带电软物质体系的4阶泊松-费米方程：
\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}
边界条件：\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi'''(0)=&0 \\ \phi(\infty)=&0\\ \phi'(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}
下面我们用bvp4c 解方程，重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。
依次取 $V_0=1, 10, 100$，解方程，程序如下：