物理学的目标是能够根据当前已知的事情预测未来。我来举一个非常简单的例子，看看牛顿定律是如何实现这个目标的。
如图4.1所示，在光滑桌面上有一个质量为$m$的物体，与劲度系数为$k$的弹簧相连，弹簧的另一端固定于静止的墙上。虚线表示这个物体正位于距离平衡位置$x$远处。我把这个物体拖动一段距离$A$，然后释放。以上就是我们所知道的全部。这个物体会如何运动？
现在我们看你在电梯里会发生什么。如图3.5所示，电梯地板上有个弹簧秤，你站在秤上。电梯加速度是$a$，为正数（表示方向向上）。秤的读数为何？
牛顿第三定律的内容是：有1、2两个物体，2对1的作用力$\boldsymbol F_{12}$与1对2的作用力$\boldsymbol F_{12}$大小相等方向相反，即
\begin{equation} \boldsymbol F_{12}=-\boldsymbol F_{21} \label{3.9}\tag{3.9} \end{equation}
下面谈谈这个定律的应用。
我们回到弹簧。若伸长量为$x$，弹簧所施加的力$F(x)$有多大？这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值，说明弹簧被拉伸，如果$x$是负值，说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$，可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度，根据$F=ma$，可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量，测量出一系列$F(x)$，可画出相应的曲线。当$x$比较小时，这条曲线将是斜率为$-k$的直线，即
\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}
其中，$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思？
负号表明，如果向右拉伸弹簧，$x>0$，$F(x)<0$，表示弹簧所施加的力将向左，如果向左压缩弹簧，$x<0$，$F(x)>0$，弹簧所施加的力将向右。
两个方程，$F=ma$和$F=-kx$，第一个表示牛顿定律，第二个表示什么？两个方程有何区别？
今天是你生命中的一个重要的日子：你将学习牛顿定律。借助这个定律，你可以明白和解释大量的现象。海量的知识都可归结到三条定律之中。实在令人惊奇！
也许，你觉得：我中学已经学过牛顿定律了，而且会用。对于我来说，经历了生命中相当长的时间后，才意识到这些定律远远比 初次见到它们时所想象得要深奥得多。
考虑这样一个运动，质点在$t=0$时刻的位置矢量和速度分别为$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol v_0$，加速度$\boldsymbol a$为常矢量。求质点的运动学方程。
现在，我们用微分运算来讨论一个具体例子。
某质点运动学方程如下：
\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}
其中，$R$和$\omega$是常数。
这个质点做什么运动？
有一个矢量，它的分量分别为3和5，你能表示出这个矢量吗？
你会马上给出答案：$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。
你给出这个答案的时候，你已经隐含着一个假设，我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴，并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是，就不能建立一套新的坐标轴吗？
回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量，单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，分别指向$x$轴和$y$轴的正方向，长度为1，如图2.3所示。
如果还有$z$轴，它与纸面垂直，会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。
