耶鲁基础物理2.3单位矢量

回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量，单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，分别指向$x$轴和$y$轴的正方向，长度为1，如图2.3所示。

如果还有$z$轴，它与纸面垂直，会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。

图2.3 单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，它们可用以表示出任一矢量$\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j$。

如图2.3所示，在$x-y$平面上，有某个矢量$\boldsymbol A$，图上还有两个用虚线箭头表示的矢量，分别沿$x$轴和$y$轴正方向，长度分别为$A_x$和$A_y$，因此这两个虚线箭头表示的矢量分别为$A_x \boldsymbol j$和$A_y\boldsymbol j$。根据矢量加法规则，矢量$\boldsymbol A$是两个虚线箭头表示的矢量的和，即

\begin{equation} \boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j \label{2.5}\tag{2.5} \end{equation}

矢量$\boldsymbol A$与$x$轴夹角是$\theta$，由三角学知识，有

\begin{equation} A_x = A\cos\theta \label{2.6}\tag{2.6} \end{equation}

\begin{equation} A_y = A\sin\theta \label{2.7}\tag{2.7} \end{equation}

$A_x$和$A_y$分别称为$\boldsymbol A$的$x$分量和$y$分量，或称为沿$x$轴和$y$轴的投影。

已知矢量的分量，可得矢量的长度

\begin{equation} A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} \label{2.8}\tag{2.8} \end{equation}

也可计算矢量与x轴的夹角

\begin{equation} \theta=\arctan \frac{A_y}{A_x} \label{2.9}\tag{2.9} \end{equation}

单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$可以将平面内的任意矢量表示出来，它们称为基矢或基底。

给出数对$(A_x,A_y)$，就能表示出一个矢量。这是表示矢量的更常用的方法，比画箭头更常用。比如，我们用位置矢量（简称位矢）$\boldsymbol r$表示质点的位置，可以用其分量表示为

\begin{equation} \boldsymbol r = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j \label{2.10}\tag{2.10} \end{equation}

$\boldsymbol r$的增量是位移矢量，简称位移，例如图2.2中两次远足的$\boldsymbol A$和$\boldsymbol B$。

做矢量加法也可以免去画箭头了，按如下方法计算：

\begin{align} \boldsymbol A + \boldsymbol B=& A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j + B_x \boldsymbol i + B_y \boldsymbol j \tag{2.11} \\ =& (A_x+B_x)\boldsymbol i+(A_y+B_y)\boldsymbol j \tag{2.12} \end{align}

所以，所求的和$\boldsymbol C$是一个矢量，分量分别为$(A_x+B_x,A_y+B_y)$。

综上，如果

\begin{equation} \boldsymbol C = \boldsymbol A + \boldsymbol B \label{2.13}\tag{2.13} \end{equation}

那么

\begin{equation} C_x=A_x+B_x \label{2.14}\tag{2.14} \end{equation}

\begin{equation} C_y=A_y+B_y \label{2.15}\tag{2.15} \end{equation}

即：矢量相加即将分量分别相加。

一个重要的结论：当且仅当$A_x=B_x$且$A_y=B_y$时，有$\boldsymbol A=\boldsymbol B$。$\boldsymbol A=\boldsymbol B$这个矢量方程其实是两个方程的缩写。