耶鲁基础物理3.4 牛顿第三定律



牛顿第三定律的内容是:有1、2两个物体,2对1的作用力$\boldsymbol F_{12}$与1对2的作用力$\boldsymbol F_{12}$大小相等方向相反,即

\begin{equation} \boldsymbol F_{12}=-\boldsymbol F_{21} \label{3.9}\tag{3.9} \end{equation}

下面谈谈这个定律的应用。

要应用牛顿定律,你必须熟练准确地写出物体所受的力。所有问题都会经历这一步。不要漏掉力,也不要编造力。除了万有引力和电磁力,物体之间要有力的作用必须互相接触。

我们从力学中最简单的题目开始,再逐渐增大难度。

现在开始第一个例子。物体质量$5\mathrm{kg}$,放于水平光滑桌面上,我对其施加$10 \mathrm N$的力,力的方向与桌面平行。物体加速度多大?



图3.3 上图:$10 \mathrm N$的力作用于两个物体上,将两物体视为一个整体。下图:两个物体分别的受力分析,注意应用牛顿第三定律。

每个人都知道答案:$2\mathrm{m/s}^2$。但是,你应该明白,我们是怎么知道这个力是$10 \mathrm N$的,是怎么知道物体质量是$5\mathrm{kg}$的。

接下来,把$5\mathrm{kg}$的物体换成靠在一起的质量分别为$3\mathrm{kg}$和$2\mathrm{kg}$的两个物体,如图3.3所示。再求加速度。如何求?

一种方法是,根据常识,两个物体一起运动,直觉上,它们的行为与一个$5\mathrm{kg}$的物体相类似,加速度依然是$2\mathrm{m/s}^2$。

另外一种方法,画出受力分析图。只要给出了物体的所有受力,应用$F=ma$,便可得物体加速度。

先考虑质量为$3\mathrm{kg}$的物体,它受到哪些力?

我们施加的$10 \mathrm N$的外力,还有$2\mathrm{kg}$的那个物体施加的力$f$,方向向左。不要将$3\mathrm{kg}$的物体对$2\mathrm{kg}$的物体的作用力包括在其中。

接下来考虑$2\mathrm{kg}$的物体,它受到什么力?

$3\mathrm{kg}$的物体所施加的力,与f大小相同方向相反。这里应用了牛顿第三定律。

有人常在这里犯错误,认为$2\mathrm{kg}$的物体必会感受到那个$10 \mathrm N$的外力。这是错误的,不要人为脑补受力。

对这两个物体分别应用牛顿第二定律:

\begin{equation} 10-f=3a \label{3.10}\tag{3.10} \end{equation}

\begin{equation} f=2a \label{3.11}\tag{3.11} \end{equation}

两个方程相加,得

\begin{equation} 10=5a \label{3.12}\tag{3.12} \end{equation}

解得

\begin{equation} a=2\mathrm{m/s}^2 \label{3.13}\tag{3.13} \end{equation}

注意,这里隐含着一个假设,两个物体加速度相同。这个假设成立吗?

如果第二个物体的加速度大于第一个物体,两个物体将脱离接触,第一个物体就不可能对第二个物体有作用力了。如果第二个物体的加速度小于第一个物体,第一个物体就会穿过第二个物体。这两种情况都没有发生,所以二者加速度必须相同。得到共同加速度$a$后,代入\eqref{3.11}式,得$f=4\mathrm N$。

现在事情全都清楚了,$f=4\mathrm N$的力作用于质量为$2\mathrm{kg}$的物体,使它具有了$2\mathrm{m/s^2}$的加速度。与此同时,质量为$3\mathrm{kg}$的物体所受合外力为$(10-6)\mathrm N=4\mathrm N$,因此加速度同样是$2\mathrm{m/s^2}$。

把题目再变化一下,如图3.4所示,$3\mathrm{kg}$和$2\mathrm{kg}$的两个物体之间以绳子相连,以$10\mathrm N$的力拉动$2\mathrm{kg}$的物体。加速度是多少?



图3.4 上图:两个物体以轻绳相连,以$10 \mathrm N$的力作用于其中一个物体上,将两个物体视为一个整体。下图:两个物体和绳子分别的受力分析,绳子中的力叫做张力。

常识告诉我们,我在拉动一个等效质量为$5\mathrm{kg}$的物体,加速度当然是$2\mathrm{m/s^2}$。我们从理论上核实下这个结果。

画出受力示意图,见图3.4。现在体系中算上绳子有三个物体。我们假设绳子没有质量,这是什么意思?

绳子当然是有质量的,假设绳子质量为零,意思是绳子质量远远小于量物体的质量,绳子的质量可忽略不计。

$3\mathrm{kg}$的物体被绳子向右拉,设大小为$T$。根据牛顿第三定律,$3\mathrm{kg}$的物体以同样大小的力向左拉绳子。绳子另外一端对$2\mathrm{kg}$物体的力有多大??

$T$。为什么?

因为绳子两端的力必须抵消,否则,绳子将有加速度,这个加速度有多大?力除以绳子质量0,无穷大?为了避免这个尴尬,没有质量的物体两端的力总是大小相等方向相反。对于绳子,这个力叫做张力

现在可以应用牛顿第二定律了,对三个物体,分别有:

\begin{equation} T=3a \label{3.14}\tag{3.14} \end{equation}

\begin{equation} T-T=0a \label{3.15}\tag{3.15} \end{equation}

\begin{equation} 10-T=2a \label{3.16}\tag{3.16} \end{equation}

将三个方程相加,得$a=2\mathrm{m/s^2}$,还可得$T=6\mathrm N$。

对于绳子,\eqref{3.15}中的$a$是不定值。合理吗?

合理,质量不为零的物体的加速度才是确定的,而绳子的加速度是白送的。

标签: 牛顿定律

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