对于一维运动，动能$K=\frac{1}{2}mv^2$，对动能求导，得

$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$

两边可消去$\mathrm dt$，得

$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$

两边积分，得

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$

整理得能量守恒定律：

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$

\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$，与其他量，如速度$v$、加速度$a$等，无关。

现在，我们看看二维情形。

二维情况下，力和位移都是有两个分量的矢量，功的表达是什么样的？即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维？

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我们将在二维空间推导动能定理和能量守恒定律。我希望得到这样的关系：$K_1+U_1=K_2+U_2$，式中$U=U(x,y)$。

如何画二元函数$f(x,y)$的图像？

在$x-y$平面上一点$(x,y)$处沿与$x-y$平面垂直的方向上量度$f(x,y)$的距离，描出一个点，遍历$x-y$平面上所有点做此操作，描出的所有点构成一个曲面，这个曲面就是二元函数$f(x,y)$的图像。

自变量$x$和$y$变动一点，$f(x,y)$的函数值如何变化？

自变量有无限多种变动方式，可以沿$x$轴变动，也可以沿$y$轴变动，也可以沿两坐标轴之间的某个角度变动。

我们先看看自变量沿坐标轴变动，函数值的变化。

从点$(x,y)$变动到另一点$(x+\Delta x,y)$，函数值增量为$\Delta f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$，$\Delta f$除以$\Delta x$，令$\Delta x \to 0$，得函数对$x$的偏导数：

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图6.1 当$x$变化了$\Delta x$，函数的增量$\Delta f$可近似为 $\Delta f\approx f'(x)\Delta x$，$f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$。实线为原来的函数，虚线为斜率为$f'(x)$的直线的线性近似。

本节简要介绍下微积分，为后面要讲的东西做一些数学准备。

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我们用另一种方法推导(1.19)式，$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$。

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总结前文讨论，得

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=G(x_2)-G(x_1)\equiv G_2-G_1 \label{5.10}\tag{5.10} \end{equation}

整理得

\begin{equation} K_2-G_2=K_1-G_1 \label{5.11}\tag{5.11} \end{equation}

现在，我们做一个细微的变化，引入函数

\begin{equation} U(x)=-G(x),\quad F(x)=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} \label{5.12}\tag{5.12} \end{equation}

于是，得到

\begin{equation} E_2\equiv K_2+U_2=K_1+U_1\equiv E_1 \label{5.13}\tag{5.13} \end{equation}

这就是能量守恒定律，其中$E=K+U$称为总机械能，$U$称为势能。

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5.1 能量概论

能量守恒定律是一条生命力顽强的定律。当适用于亚原子范围的量子力学问世后 ，牛顿力学许多弥足珍贵的概念都被抛弃了。你有所了解吗？

比如，在量子世界，粒子不再有确定的位置和 速度，粒子并不沿着连续的轨道运动。你的生活经验和牛顿力学告诉你，粒子两次现身之间一定有一条连续的轨道相连，但是，在量子世界里，事实不是这样的。

在量子世界，牛顿力学许多思想都被抛弃了，然而，能量守恒观点却经受住了量子革命的考验而幸存下来。

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图4.5 左图为物体被绳子吊着做圆周运动，在水平面内左半径为$R$的圆周运动，吊绳与竖直方向夹角为$\theta$。右图为赛车在左半径为$R$的圆形赛道上行驶，赛道倾角为$\theta$。符号$\otimes$表示物体向纸面以内运动。

现在我们研究各种圆周运动。

首先看图4.5中的A图，物体被绳子吊着做圆周运动，绳子与竖直方向有个夹角$\theta$，这个角度与圆周运动速率为$v$和轨道半径为$R$有什么关系？

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图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力，右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么？成心给学生找罪受？

不是为了难为学生，是为成就学生，这是入门的门票，学懂这个，才可能学懂更高层次的内容。

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图4.2 物体位于桌面上。左图中无摩擦力，右图中出现了摩擦力。如果物体静止，摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm s}$，如果物体滑动，摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm k}$。

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继续讨论弹簧振子，它会不会按我们的解所预测的那样，永远地振动下去？

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