耶鲁基础物理6.3二维空间中力做功与矢量点乘
对于一维运动，动能$K=\frac{1}{2}mv^2$，对动能求导，得
$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$
两边可消去$\mathrm dt$，得
$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$
两边积分，得
$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$
整理得能量守恒定律：
$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$
\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$，与其他量，如速度$v$、加速度$a$等，无关。
现在，我们看看二维情形。
二维情况下，力和位移都是有两个分量的矢量，功的表达是什么样的？即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维？
我们从动能的表达式出发：
$$ K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2) \label{6.33}\tag{6.33} $$
对动能求导：
$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=m\left(v_x\frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}+v_y\frac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}\right) \label{6.34}\tag{6.34} $$
代入牛顿第二定律，$\boldsymbol F=m\boldsymbol a$，$F_x=m\frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}$，$F_y=m\frac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}$，得
$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=F_xv_x+F_yv_y=F_x\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+F_y\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} \label{6.35}\tag{6.35} $$
两边可消去$\mathrm dt$，得
$$ \mathrm dK=F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy \label{6.36}\tag{6.36} $$
若定义功为：
$$ \mathrm dW=F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy \label{6.37}\tag{6.37} $$
像一维情形一样，我们同样得到
$$ \mathrm dK=\mathrm dW=F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy \label{6.38}\tag{6.38} $$
力和元位移都是矢量：
$$ \boldsymbol F=F_x\boldsymbol i+F_y\boldsymbol j \label{6.39}\tag{6.39} $$
$$ \mathrm d\boldsymbol r=\mathrm dx\boldsymbol i+\mathrm dy\boldsymbol j \label{6.40}\tag{6.40} $$
它们的分量出现在了$\mathrm dW=F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy$中。
同样，功率$P$为：
$$ P=\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=F_xv_x+F_yv_y \label{6.41}\tag{6.41} $$
以上公式可以用矢量点乘写成更简约的形式。
假设有两个矢量：
$$ \boldsymbol A=A_x\boldsymbol i+A_y\boldsymbol j \label{6.42}\tag{6.42} $$
$$ \boldsymbol B=B_x\boldsymbol i+B_y\boldsymbol j \label{6.43}\tag{6.43} $$
两个矢量的点乘运算定义为：
$$ \boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=A_xB_x+A_yB_y \label{6.44}\tag{6.44} $$
运算结果叫做点积。
采用点乘运算，\eqref{6.37}式可写为：
$$ \mathrm dW=\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r \label{6.45}\tag{6.45} $$
\eqref{6.41}式可写为：
$$ P=\boldsymbol F \cdot \boldsymbol v \label{6.46}\tag{6.46} $$
下面介绍点乘的几个性质。
首先是矢量点乘自己：
$$ \boldsymbol A \cdot \boldsymbol A=A_x^2+A_y^2=A^2 \label{6.47}\tag{6.47} $$
其中$A$为矢量$\boldsymbol A$的大小。
设$\theta_A$和$\theta_B$分别为矢量$\boldsymbol A $和$\boldsymbol B$与$x$轴的夹角，那么有：
$$ \begin{align} \boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=&A_xB_x+A_yB_y \label{6.48}\tag{6.48} \\ =&A\cos\theta_A B\cos\theta_B+A\sin\theta_A B\sin\theta_B \label{6.49}\tag{6.49} \\ =&AB(\cos\theta_A \cos\theta_B+\sin\theta_A \sin\theta_B) \label{6.50}\tag{6.50} \\ =&AB\cos(\theta_A - \theta_B)=AB\cos(\theta_B - \theta_A) \label{6.51}\tag{6.51} \end{align} $$
\eqref{6.51}也常常被写为更紧凑的形式：
$$ \boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=AB\cos \theta \label{6.52}\tag{6.52} $$
式中$\theta$为两个矢量之间的夹角，即从$\boldsymbol A$转到$\boldsymbol B$的角度，也即从$\boldsymbol B$转到$\boldsymbol A$的角度。
注意：如果令$\boldsymbol A = \boldsymbol B$，那么$\boldsymbol A \cdot \boldsymbol A=A^2\cos 0=A^2$。
即使在三维空间中，\eqref{6.52}式也成立，因为$\boldsymbol A$和$\boldsymbol B$定出一个平面，$\theta$为两个矢量在它们所定出的平面内的夹角。在三维空间中，两矢量点乘的结果可用分量表达如下：
$$ \boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=A_xB_x+A_yB_y+A_yB_y \label{6.53}\tag{6.53} $$
$\theta$为从$\boldsymbol A$转到$\boldsymbol B$的角度，那么，从$\boldsymbol B$转到$\boldsymbol A$的角度就是$-\theta$。因为$\cos\theta=\cos(-\theta)$，所以，点乘运算满足交换律：
$$ \boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=\boldsymbol B \cdot \boldsymbol A \label{6.54}\tag{6.54} $$
点乘的这两种定义式\eqref{6.44}和\eqref{6.52}是完全等价的。用哪个公式来计算？
视情况而定。如果用分量来表示矢量的话，\eqref{6.44}式更方便，而当你用箭头表示矢量的时候，\eqref{6.52}式是首选计算公式。到底用哪个要根据你的目标而定。
例如，要证明点乘是否满足分配律：
$$ \boldsymbol A (\cdot \boldsymbol B+\boldsymbol C)=\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B+\boldsymbol A \cdot \boldsymbol C \label{6.55}\tag{6.55} $$
用\eqref{6.44}式来推导会比较容易：
$$ \begin{align} &\boldsymbol A (\cdot \boldsymbol B+\boldsymbol C)=A_x(B_x+C_x)+A_y(B_y +C_y)= \label{6.56}\tag{6.56} \\ &A_xB_x+A_yB_y+A_xC_x+A_yC_y=\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B+\boldsymbol A \cdot \boldsymbol C \label{6.57}\tag{6.57} \end{align} $$
然而，应用\eqref{6.52}式可方便地证明下面的常用结论：
- 如果$\boldsymbol A $和$\boldsymbol B$彼此平行，即$\cos\theta=0$，则它们的点积取极大值$\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B=AB$。
- 如果$\boldsymbol A $和$\boldsymbol B$彼此垂直，即$\cos\theta=\pi/2$，则它们的点积为零。
- 在旋转坐标轴的操作下，$\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B$是个恒量，因为矢量的长度和相对角度不随坐标轴的旋转而改变。
当然，矢量点乘的性质用用\eqref{6.44}和\eqref{6.52}都可以证明出来，只不过可能其中一个证明方法会麻烦一些。
我们回到动能定理，运用点积，有表达式：
$$ \mathrm dK=\mathrm dW=\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r \label{6.58}\tag{6.58} $$
即一个力使物体移动了矢量$\mathrm d\boldsymbol r$所做的功等于力矢量的长度乘以位移，再乘以力与位移矢量间夹角的余弦值，这也等于动能的增量$\mathrm dK$。
对\eqref{6.58}式积分，可得力做的功和动能增量。积分怎么做？
图6.3 质点沿路径$P_1$从1点运动到2点，质点受力$\boldsymbol F$沿$P_1$的线积分等于对组成这条路径的许多微小线元在$\mathrm d \boldsymbol r\to 0$的极限下的点积$\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r$之和。虚线为另一路径$P_2$。
让我们在$x-y$平面上画一段运动轨迹，如图6.3所示，从$\boldsymbol r_1=1$点开始，到$\boldsymbol r_2=2$点结束。这一行程是由一系列很小的线段$\boldsymbol r$组成的，我对每个小段都算一算$\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r$。因为这些小段的长度趋于零，对所有小段上的$\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r$求和即是积分，称为线积分，也叫路径积分。
对\eqref{6.58}式积分：
$$ \int_{K_1}^{K_2}\mathrm dK=K_2-K_1=\int_{W_1}^{W_2}\mathrm dW=W_2-W_1=\int_1^2 \boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r \label{6.59}\tag{6.59} $$