前一篇博客文章讨论的是单变量高斯积分，这里讨论变量为 $n$ 维矢量 $\vec{x}$ 的情形。

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两带电球面非均匀带电，但电荷密度具有轴对称性。如何计算其静电力？

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梁昆淼《数学物理方法》给出了勒让德多项式 6 个递推公式，3 个有证明，3 个没有证明。这里补充一下证明过程。

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如上图，两个带电球 A 和 B，考虑较简单的情况，电荷只分布在球面上，且电荷分布关于 $z$ 轴对称。

球外电势

\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开：

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明，见 J. Electrost 36, 195，过程如下：

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勒让德多项式的递推关系一般书上都是从生成函数推导，其实也可以从勒让德多项式的微分表示推导得到。

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《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2，1.4

1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子（例如，冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒）。

解答：
冬天暖手：搓手或捧热水杯。
热水器：电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

解答：

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原文链接：Properties of Legendre Polynomials

半径为 $a$ 的球内定态温度分布为 $u(\vec{x})=u(r,\theta)$，满足拉普拉斯方程

\begin{equation}
\nabla^2u=0
\label{laplace}
\end{equation}

控制球表面上温度为

\begin{equation}
u(r=a,\theta)=f(\theta)
\label{boundary}
\end{equation}

球内温度如何分布？

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带电电容器和不带电电容器有何不同？不在总电量，都是零，但是电荷排布方式不同。电容器里存储的能量正是来自电荷排布。电容器里存储的能量到底是什么能量？我们对于第23.1节中的图23.1中的三角形电荷分布也可以问同样的问题。单个电荷并没有变化，变化的是电荷的排布方式。排布带来能量，能量来自哪里？

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