Essential University Physics 23.4 电场中的能量
带电电容器和不带电电容器有何不同？不在总电量，都是零，但是电荷排布方式不同。电容器里存储的能量正是来自电荷排布。电容器里存储的能量到底是什么能量？我们对于第23.1节中的图23.1中的三角形电荷分布也可以问同样的问题。单个电荷并没有变化，变化的是电荷的排布方式。排布带来能量，能量来自哪里？
前述两种情形，电场都发生了变化。不带电的电容器里没有电场，但电容器带电之后，导体板间就有了电场。三个点电荷开始相距无限远，对应电场为三个孤立的点电荷的电场，摆成三角形后，在空间形成一个复杂的电场。能量存储在哪里？存储在电场里！事实上，每个电场代表的都是存储的能量。电荷重新排布——比如电容器放电，或将电荷排成的三角形拆散——你就会放出能量。电作用力统治日常物质的多数行为，因此，许多看起来大相径庭的能量形式本质上都是电场能。汽车烧油、食物代谢，其实都是重新排布电荷分布，即使分子取电场能较小的新构型。
电场是位置的函数，我们可以定义电场能密度，即单位体积存储的能量。对于电容器，根据 23.1式， $V=Q/C$，存储能量为 $U=CV^2/2=Q^2/(2C)$。对于平行板电容器，$C=\epsilon_0A/d$，因此，存储的能量为$U=Q^2d/(2\epsilon_0A^2)$。存储此能量的电场为均匀电场，因此能密度也是均匀的，能密度为$u_E=U/(Ad)=Q^2/(2\epsilon_0A)$。又电场为$E=Q/(\epsilon_0A)$，代入能密度，得
\begin{equation}
u_E=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2 \quad (电场能密度)
\label{23.7}\tag{23.7}
\end{equation}
尽管上式是由平行板电容器所得到的，其实对所有静电场都适用。凡有电场处，皆有电场能，密度为 $\epsilon_0E^2/2$。
电场能是我们这个物理世界的主要驱动能量，从日常生活到遥远星系，大大小小的事件都是电场能存储和释放的结果。
例题23.4 电场能：雷暴
雷暴中典型电场约为 $105\mathrm{V/m}$。考虑一圆柱形雷雨云，高度为 $10 \mathrm{km}$，直径为 $20 \mathrm{km}$，假设雷雨云内电场为大小为为 $105\mathrm{V/m}$ 的匀强电场，求雷雨云内储存的电场能。
分析： 可以由电场能密度乘以体积，得到电场能。
计算：电场能密度为
\begin{equation*} u_E=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2=4.4\times 10^{-2}\mathrm{J/m^3} \end{equation*}
圆柱体积为
\begin{equation*} V=\pi r^2h=3.1\times 10^{12}\mathrm{m^3} \end{equation*}
储存电场能
\begin{equation*} U=Vu_E=140\mathrm{GJ} \end{equation*}
检查：结果合理吗？1 加仑汽油的能量约为 $0.1 \mathrm{GJ}$，这样算来，雷雨云中的能量约为 1400 加仑汽油的能量。雷雨云体积巨大，看来，宏观电场的能密度远小于燃料分子中存储的能量密度。所以我们从来没看到过大气电驱动的汽车。
如果电场不是匀强电场，要计算总能量，需要用到积分。先找体积元 $dV$，体积元足够小，小到体积元范围内的电场可视为匀强电场。储存在体积元内的电场能为 $dU = u_E dV = \frac{1}{2} \epsilon_0E^2 dV$。总电场能为所有 $dU$ 之和，也即积分：
\begin{equation}
U = \int dU = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int E^2 dV
\label{23.8}\tag{23.8}
\end{equation}
例题23.5 功和能：收缩的球
一均匀带电球面，半径为 $R_1$，电量为 $Q$。要使球缩为半径为 $R_2$ 的球需要做多少功？
分析：此例题求重新摆布电荷需要做的功，此功等于电场能的变化。
体系具有球对称性，因此距离球心 $R_1$ 以外的区域，电场和电场能都不 变化，因此，我们只计算球缩小后，新出现的电场里的电场能就够了，即$R_2\lt r \lt R_1$ 区域内的电场能，如分析草图 23.10 所示。
图23.10 (a) 带电球及其电场。(b) 球缩小在区域 $R_2\lt r \lt R_1$ 产生电场和能量。
考虑到体系的球对称性，电场为 $E=kQ/r^2$，体积元可选为薄球壳，$dV=4\pi r^2 dr$，如图 23.11 所示。
图23.11 球壳体积 $dV=4\pi r^2 dr$。
计算：电场能的变化为
\begin{equation*} U = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int E^2 dV = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{R_2}^{R_1} \left (\frac{kQ}{r} \right )^2 4\pi r^2 dr = \frac{kQ^2}{2} \int_{R_2}^{R_1} r^{-2} dr = \frac{kQ^2}{2}\left (\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1} \right ) \end{equation*}
检查：这里 $R_2\lt R_1$，说明需要做正功，结果合理，因为整个球面带同种电荷，球缩小，意味着使电荷之间的距离减小，要抵抗静电力做功。
令 $R_1\rightarrow \infty$，给出摆出一个均匀带电球面所需的功。
令 $R_2=0$，结果发散，说明点电荷是在现实中不可能存在的，只是理想模型。
课堂练习23.5
$P$ 点到正点电荷 $+q$ 距离为 $a$，然后在另一边距离 $P$ 点 $a$ 处再放一个负点电荷 $-q$，求 $P$ 点处 (1) 电场强度 和 (2) 电场能密度的变化，并判断电场总的静电能 $U=\int e_E dV$ 是增大、减小还是不变。