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变分迭代方法解半无限空间常微分方程
变分迭代方法（VIM）是中国数学家何吉欢发展的一种求非线性方程近似解的方法。具体方法见International Journal of Non-Linear Mechanics 34 (1999) 699—708。
本文以布拉修斯方程（Blasius equation）为例，介绍变分迭代方法解半无限空间常微分方程。
线性4阶泊松-费米方程的解
4阶泊松-费米方程为：
\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi4} \end{equation}
低电势极限下，$\phi \ll 1$，方程\eqref{Poisson-Fermi4}右边为 $\phi$，方程为\begin{equation} \delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\phi=0 \label{LPoisson-Fermi4} \end{equation}
这是一个高阶常系数线性常微分方程，下面给出解析解。
4阶泊松-费米方程数值求解
常见于离子液体等带电软物质体系的4阶泊松-费米方程：
\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}
边界条件：\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi'''(0)=&0 \\ \phi(\infty)=&0\\ \phi'(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}
下面我们用bvp4c 解方程，重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。
依次取 $V_0=1, 10, 100$，解方程，程序如下：
泊松-费米方程数值求解
常见于离子液体等带电软物质体系的泊松-费米方程
\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}
边界条件：\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}
下面我们用bvp4c 解方程，重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。
依次取 $V_0=1, 10, 100$，解方程，程序如下：
受限离子液体
自由能“作用量”
以文献Ions in Mixed Dielectric Solvents: Density Profiles and Osmotic Pressure between Charged Interfaces为例，说明将自由能看做作用量的处理手法。
体系如上图所示，电解质溶液受限于两带电平面，溶液中有A、B两种溶剂。
链状离子液体格气模型
离子液体格气模型
参考文献：A mean-field theory on the differential capacitance of asymmetric ionic liquid electrolytes
体系如上图所示，蓝、红圆分别为正、负离子。
