代数备忘单

中学代数知识备忘

基本性质

算术运算

\begin{equation*} \begin{split} ab+ac&=a(b+c)\\ \\ a\left ( \frac{b}{c}\right ) &= \frac{ab}{c}\\ \\ \frac{\left ( \frac{a}{b}\right )}{c} &=\frac{a}{bc}\\ \\ \frac{a}{\left ( \frac{b}{c}\right )} &=\frac{ac}{b}\\ \\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}&=\frac{ad+bc}{bd}\\ \\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}&=\frac{ad-bc}{bd}\\ \\ \frac{a-b}{c-d}&=\frac{b-a}{d-c} \\ \frac{a+b}{c}&=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \\ \frac{ab+ac}{a}&=b+c, a\neq 0 \\ \\ \frac{\left ( \frac{a}{b}\right )}{\left ( \frac{c}{d}\right )}=\frac{ad}{bc} \end{split} \end{equation*}

指数性质

\begin{equation*} \begin{split} a^ma^n&=a^{m+n}\\ \\ \frac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}\\ \\ (a^m)^n&=a^{mn}\\ \\ a^0&=1, a\neq 0\\ \\ (ab)^m&=a^mb^m \\ \\ \left (\frac{a}{b}\right )^m&=\frac{a^m}{b^m}\\ \\ a^{-m}&=\frac{1}{a^m} \\ \\ \frac{1}{a^{-m}}&=a^m \\ \\ \left (\frac{a}{b}\right )^{-m}&=\left (\frac{b}{a}\right )^{m}=\frac{b^m}{a^m} \\ \\ a^{\frac{n}{m}}&=\left (a^{\frac{1}{m}}\right )^n=\left (a^n\right )^{\frac{1}{m}} \end{split} \end{equation*}

根式的性质

\begin{equation*} \begin{split} \sqrt[n]{a} &=a^{\frac{1}{n}}\\ \\ \sqrt[n]{ab} &=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}\\ \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}&=\sqrt[mn]{a}\\ \\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}&=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\\ \\ \sqrt[n]{a^n} &= a, n是奇数 \\ \sqrt[n]{a^n} &= |a|, n是偶数 \end{split} \end{equation*}

不等式的性质

如果 $a \lt b$，那么 $a+c \lt b+c$， $a-c \lt b-c$。

如果 $a \lt b$，且$c\gt 0$，那么 $ac \lt bc$， $\frac{a}{c} \lt \frac{b}{c}$。

如果 $a \lt b$，且$c\lt 0$，那么 $ac \gt bc$， $\frac{a}{c} \gt \frac{b}{c}$。

绝对值的性质

\begin{equation*} \begin{split} |a| &=\begin{cases} a, a \geq 0 \\ -a, a \leq 0 \end{cases}\\ \\ |a| &\geq 0 \\ \\ |a| &=|-a| \\ \\ |ab| &=|a| |b|\\ \\ \left |\frac{a}{b}\right |&=\frac{|a|}{|b|}\\ \\ |a+b| &\leq |a|+|b| \end{split} \end{equation*}

距离公式

两点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$ 之间的距离为

\begin{equation*} d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{equation*}

复数

\begin{equation*} \begin{split} i &= \sqrt{-1} \\ \\ i^2 &= -1 \\ \\ \sqrt{-a} &= i\sqrt{a}, a\geq 0 \\ \\ (a+bi)+(c+di) &= a+c+(b+d)i \\ \\ (a+bi)-(c+di) &= a-c+(b-d)i \\ \\ (a+bi)(c+di) &= ac-bd+(ad+bc)i \\ \\ (a+bi)(a-bi) &= a^2+b^2 \\ \\ |a+bi| &= \sqrt{a^2+b^2} \\ \\ \overline{a+bi} &= a-bi \\ \\ (a+bi)\overline{a+bi} &= |a+bi|^2 \end{split} \end{equation*}

对数

定义：$y=\log_b x \Leftrightarrow x=b^y$

举例：由 $5^3=125$，知 $\log_5 {125}=3$

特殊对数：

• 自然对数 $\ln x = \log_e x$
• 常用对数 $\lg x = \log_{10} x$
  其中 $e = 2.718281828$

对数性质：

\begin{equation*} \begin{split} \log_b b &= 1\\ \\ \log_b 1 &= 0\\ \\ \log_b b^x &= x\\ \\ b^{\log_b x}&=x \\ \\ \log_b (x^r)&=r\log_b x \\ \\ \log_b (xy) &= \log_b x + \log_b y \\ \\ \log_b \left (\frac{x}{y}\right ) &= \log_b x - \log_b y \end{split} \end{equation*}

$\log_b x$ 的定义域是 $x\gt 0$

因式分解和求根

因式分解

\begin{equation*} \begin{split} a^2-b^2 &= (a-b)(a+b) \\ \\ a^2\pm 2ab+b^2 &= (a\pm b)^2 \\ \\ x^2+(a+b)x+ab &= (x+a)(x+b) \\ \\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &= (a+b)^3 \\ \\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 &= (a-b)^3 \\ \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2)\\ \\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2)\\ \\ a^{2n}-b^{2n} &= (a^n-b^{n})(a^n+b^n) \\ \\ a^{2n}-b^{2n} &= (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})，n为偶数 \\ \\ a^{2n}+b^{2n} &= (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots+b^{n-1})，n为偶数 \\ \end{split} \end{equation*}

一元二次方程的根

一元二次方程

\begin{equation*} ax^2+bx+c=0, a\neq 0 \end{equation*}

的根为

\begin{equation*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{equation*}

如果 $b^2-4ac \gt 0$，方程有两个不相等的实根。
如果 $b^2-4ac = 0$，方程有两个相等的实根。
如果 $b^2-4ac \lt 0$，方程有两个复根。

平方根

如果 $x^2=p$，那么$x=\pm \sqrt{p}$

绝对值方程与不等式

令 $b \gt 0$

\begin{equation*} \begin{split} |p|=b &\Rightarrow p=b \quad 或 \quad p=-b \\ |p|\lt b &\Rightarrow -b \lt p \lt b \\ |p|\gt b &\Rightarrow p\lt -b \quad 或 \quad p\gt b \\ \end{split} \end{equation*}

函数与图像

常函数

$y=f(x)=a$

图像为通过点$(0,a)$的水平线

直线/线性函数

$y=f(x)=kx+b$

图像为直线，通过点$(0,b)$，斜率为$k$

连接两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的直线的斜率为 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

直线方程点斜式：
直线斜率为$k$，通过点$(x_0,y_0)$，直线方程为 $y=f(x)=y_0+k(x-x_0)$

抛物线/二次函数

$y=f(x)=a(x-h)^2+k$

图像为抛物线，有一个顶点$(h,k)$。如果$a\gt 0$，抛物线开口向上，如果$a\lt 0$，抛物线开口向下。

$y=f(x)=ax^2+bx+c$

图像为抛物线，有一个顶点$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。如果$a\gt 0$，抛物线开口向上，如果$a\lt 0$，抛物线开口向下。

$x=g(y)=ay^2+by+c$

图像为抛物线，有一个顶点$(c-\frac{b^2}{4a}，-\frac{b}{2a})$。如果$a\gt 0$，抛物线开口向右，如果$a\lt 0$，抛物线开口向左。

圆

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

图像为圆，半径为$r$，圆心位于点$(h,k)$。

椭圆

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

图像为椭圆，中心为$(h,k)$，两轴的长度分别为$2a$和$2b$。

双曲线

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

图像为双曲线，左右开口，中心为$(h,k)$，实轴长度为$2a$，渐近线穿过中心，斜率为$\pm\frac{b}{a}$。

$\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1$

图像为双曲线，上下开口，中心为$(h,k)$，实轴长度为$2b$，渐近线穿过中心，斜率为$\pm\frac{b}{a}$。