耶鲁基础物理1.5. 例题:高楼竖直抛物



现在做一道例题 ,以学会应用以上的公式,会从现在的运动状态预测未来的运动状态。

如图1.2所示,一栋楼,高度为 $y_0=15\mathrm m$。我 在楼顶以$v_0=10\mathrm{m/s}$的初速度向上抛出一块石头。石头会上升到最高点T点,然后下落。



图1.2 从高为$y_0=15\mathrm m$的楼顶上,以$v_0=10\mathrm{m/s}$的初速度向上抛出一块石头。图中虚线表示的是将时间倒回到抛出前的轨迹。

关于这块石头,你有任何问题都可以来问我,我都可以解答。比如,你可以问:过了9s它会到哪?过了8s它的速度是多少?等等。我们需要的只是给定的两个初始条件。为简单起见,石块的加速度是$a=-g=-10\mathrm{m/s^2}$。

为了刻画石头的运动,我们先建立坐标系。

选向上作为正方向。(你愿意选向下作为正方向也是可以的。)

然后选取坐标原点。你可以选楼顶为坐标原点,地面的坐标就是$-15\mathrm m$。你也可以选地面为坐标原点,你站的地方的坐标就是$15\mathrm m$。

坐标系如何建立不影响物理,只影响数字。你也可以选一楼半的地方作为坐标原点,但是会给你解方程带来麻烦。

坐标系都是平等的,但有些坐标系会更平等一些。

我们这里选地面为坐标原点,以向上为$y$轴正方向。

石块抛出后,在任意时刻,石头的位置为

\begin{equation} y= 15 + 10t - 5t^2 \label{1.20}\tag{1.20} \end{equation}

石块运动的信息尽在此公式。

当然,应用此公式时你必须要谨慎。比如,令 $t$ 为$10,000\mathrm s$,你得到什么?

一个巨大的负数。

这么用公式是不合适的,因为石头一旦落地, $a=-g=-10\mathrm{m/s^2}$这个前提就不存在了,所以,公式\eqref{1.20}也就不成立了。

当然,你可以在地上挖一口很深的井,$y$可以取负值,上面的公式又能用了。

所以,对于公式,一定要清楚它的适用条件,知道公式是如何得来的,盲目套用公式,可能会得到不合理的结果。反过来说,如果用公式得到不合理的结果,就要从头检查,看看是不是误用了公式。

如果想知道石头在任意时刻的速度,只要对\eqref{1.20}求导,便得

\begin{equation} v(t)=10-10t \label{1.21}\tag{1.21} \end{equation}

我们现在问几个问题。

石头会上升到多高处掉头下落?

由\eqref{1.20}式,代入$t$,就能求得$y$,可我们现在不知道石头上升到最高处的时刻$t^{*}$。怎么能求得$t^{*}$?

在最高处石头既不上升也不下降,即速度为零,$v(t^*)=0$,由\eqref{1.21}式,得

\begin{equation} 0=10-10t^* \\ t^*=1\mathrm s \label{1.22}\tag{1.22} \end{equation}

这样,我们知道,石头向上运动了$1\mathrm s$,达到最高处,然后,掉头回落。现在我们就可以求出$y_{\mathrm{max}}$了:

\begin{equation} y_{\mathrm{max}}=y(t^*)=y(1)=20\mathrm m \label{1.23}\tag{1.23} \end{equation}

再问一个问题,石头何时回到地面?

变成数学问题,就是问,$y=0$时,$t$等于多少?

将$y=0$代入\eqref{1.20},有

\begin{equation} 0=15 + 10t - 5t^2 \label{1.24}\tag{1.24} \end{equation}

这个二次方程的解为

\begin{equation} t=3\mathrm s 或 t=-1\mathrm s \label{1.25}\tag{1.25} \end{equation}

为什么给出两个解?$t$能取负值吗?

不要为负时间感到困扰。$t=0$是我把钟调为零的那个时刻,昨天就是$t=-1 天$,不难接受吧?

不必觉得负时间不自然,与说公元前300年的含义是类似的。

回到我们的问题,这里的负时间如何解释?

\eqref{1.20}式并没有说我爬上一栋楼楼顶,扔了一块石头还是什么东西。它表达的是,一个质点在$t=0$时刻位于$y=15\mathrm m$处,速度为$10\mathrm{m/s}$,以$-10\mathrm {m/s^2}$的加速度运动。这就是\eqref{1.20}式所知道的全部内容。

如果去掉高楼、石块、地面等背景信息,随着时间无论是向前推移还是往后回溯,质点都会持续运动着,于是在我设置的$t=0\mathrm s$之前的$1\mathrm s$,质点位于$y=0$处。

还有一种理解方式。

在$t=0\mathrm s$之前的$1\mathrm s$,质点以一个速率运动,这个速率我们可以求出来,怎么求?

由\eqref{1.21}式,知$v(-1)=20\mathrm{m/s}$。$t=0\mathrm s$时刻,质点到达$y=15\mathrm m$处,速率$v_0=10\mathrm{m/s}$。

所以,有些时候,这种附加解释非常有趣。数学结果都应严肃对待,思考有没有意义。

英国物理学家狄拉克研究相对论量子力学时,在求粒子的能量时,发现能量$E$与动量$p$、质量$m$、光速$c$之间关系为:

\begin{equation} E^2=p^2c^2+m^2c^4 \label{1.26}\tag{1.26} \end{equation}

能量解出来有两个解

\begin{equation} E=\pm\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \label{1.27}\tag{1.27} \end{equation}

你可能只想留下那个正的解,因为能量不能为负。但是从数学上讲,负的能量可以存在。负能量解是什么意思呢?狄拉克为保留和解释这个负根,预言了反粒子的存在。

方程真的是非常聪明。

物理学就是从数学中找到运动规律,代入初始条件,解方程,得到方程的解,个人主观能动性的空间很有限,解出什么就要接受什么,但是有可能会有出乎意料的答案,对乍看不合理的答案,不能草率放弃,你必须思考,这意外的答案是什么意思。

狄拉克就是一个好例子,他没有想到要解出反粒子。他解出两个根,在数学上同样有趣,都应该包含在物理理论中,他提出了反粒子。

数学里,二次方程正根与负根相伴,物理世界,粒子与反粒子同存。数学和物理好美妙!



狄拉克,英国物理学家,预言了反粒子的存在。

在我们的例题中,我们提出另一种可能,石头是之前一个时刻从地面上抛出的。

回到我们的例题上来。如果你只问石头能达到的最高高度$y_{\mathrm{max}}$,不问它达到最高高度的时间,还有另外一种简便的方法。

还记得公式(1.19)吗?这个公式如何应用到本例题?

\begin{equation} v^2=v_0^2+2a(y-y_0) \label{1.28}\tag{1.28} \end{equation}

将$v=0$、$v_0=10\mathrm{m/s}$、$a=-g=-10\mathrm{m/s^2}$代入,得

\begin{equation} y_{\mathrm{max}}-y_0=5\mathrm m \label{1.29}\tag{1.29} \end{equation}

也就是说,石头能达到的最高高度是$20\mathrm m$。

你也可以求出石头落地时($y=0$)的速度:

\begin{equation} v^2=[10^2+2(-10)(0-15)(\mathrm{m/s})^2=400(\mathrm{m/s})^2 \\ v=\pm 20 \mathrm{m/s} \label{1.30}\tag{1.30} \end{equation}

我们应该取哪个根?

$-20\mathrm{m/s}$。

正根如何解释?

石头上升阶段位于$y=0$处时的速度。

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