猜非谐振子的运动方程

《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

摆如上图所示，摆的动力学方程：

\begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega_0^2\sin\theta=0, \omega_0^2 = \frac{g}{L} \label{fullpendulum} \end{equation}

$\sin\theta$的级数展开式：

\begin{equation} \sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \label{sinseries} \end{equation}

如果摆动的角度很小，即$\theta$很小，$\sin\theta$的级数展开式只取到一阶项，摆的动力学方程：

\begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega_0^2 \theta=0 \label{simplependulum} \end{equation}

此方程的解为

\begin{equation} \theta=\theta_0\sin\omega_0 t \label{simplependulumsolution} \end{equation}

我们已经假设$t=0$时摆处于竖直位置。

如果摆动的角度稍微大一些，我们将$\sin\theta$的级数展开式保留到三阶项，摆的动力学方程：

\begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega_0^2 \theta-\frac{\omega_0^2}{6} \theta^3 =0 \label{3pendulum} \end{equation}

我们设想，此时摆的运动与简谐摆动有稍许偏离，设此时摆的频率为$\omega$，当振幅很小的时候，应有$\omega=\omega_0$，因此\eqref{3pendulum}式的解的零阶项为$\theta = \theta_0 \sin \omega t$，代入\eqref{3pendulum}式，考虑到三角函数恒等式

\begin{equation} \sin^3x=\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x \label{sin3}\end{equation}

$\theta^3$这一项会产生一项$\sin 3\omega t$，因此可猜到\eqref{3pendulum}式的解精确到一阶项为

\begin{equation} \theta = \theta_0\sin\omega t +\varepsilon \theta_0 \sin 3\omega t \label{try3pendulum} \end{equation}

其中，$\varepsilon $ 为待定无量纲小量。

当然，进一步分析下去，将\eqref{try3pendulum}式代入\eqref{3pendulum}式，\eqref{3pendulum}式更精确的解还应有一项$\varepsilon^3 \sin 9\omega t$。如此等等。没有明显的理由我们可以终止这一分析过程。$\varepsilon $ 的幂次会越来越高，会作为系数出现在频率越来越高的项，如果$\varepsilon \ll 1$，我们可以预料，级数会迅速收敛。\eqref{try3pendulum}式可以作为非谐振子动力学方程\eqref{3pendulum}式的近似解。

现在还需要确定出$\omega$和$\varepsilon $。

由\eqref{try3pendulum}式，得：

\begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \omega^2\theta_0\sin\omega t -9\omega^2\varepsilon \theta_0 \sin 3\omega t \label{ddtheta} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} \theta^3 =& \theta_0^3(\sin^3\omega t+3\varepsilon \sin^2\omega t \sin \omega t+\cdots) 注：略去高阶项\\ =& \theta_0^3\left(\frac{3\sin \omega t - \sin 3\omega t}{4}+3\varepsilon \frac{2\sin 3\omega t-\sin \omega t -\sin 5\omega t }{4}+\cdots\right) \\ =& \theta_0^3\left(\frac{3\sin \omega t - \sin 3\omega t}{4}+3\varepsilon \frac{2\sin 3\omega t-\sin \omega t }{4}+\cdots\right) 注：略去高频项 \end{split} \label{theta3} \end{equation}

将\eqref{ddtheta}、\eqref{try3pendulum}、\eqref{theta3}式代入\eqref{3pendulum}式，得到$A\sin \omega t + B\sin 3\omega t =0$的形式，因此$\sin \omega t $和$\sin 3\omega t $的系数必为零，否则无法保证任意的$t$都满足方程。

由$\sin \omega t $的系数为零，得$-\omega^2+\omega_0^2-\frac{3}{24}\omega_0^2\theta_0^2(1-\varepsilon)\approx -\omega^2+\omega_0^2-\frac{3}{24}\omega_0^2\theta_0^2=0$，得

\begin{equation} \omega = \omega_0\sqrt{1-\frac{1}{8}\theta_0^2} \approx \omega_0\left ( 1-\frac{1}{16}\theta_0^2 \right ) \label{omega} \end{equation}

由$\sin 3\omega t $的系数为零，得$-9\omega^2\varepsilon+\omega_0^2\varepsilon+\frac{1}{24}\omega_0^2\theta_0^2(1-\varepsilon)\approx -9\omega^2\varepsilon+\omega_0^2\varepsilon+\frac{1}{24}\omega_0^2\theta_0^2$，取$\omega\approx \omega_0$，则得

\begin{equation} \varepsilon \approx \frac{\theta_0^2}{192} \label{varepsilon} \end{equation}

取$\theta_0=0.3\mathrm{rad}$，$\varepsilon \approx 4\times 10^{-4}$，确实很小。$\varepsilon$可看作是$\sin 3\omega t$ 掺和在一个由$\sin \omega t$ 起主导作用的$\theta$的解中的份额。

当振幅较大时，摆的频率是多少？摆将不再只有一个频率。摆的运动最重要的项是$\sin \omega t$项，我们称$\omega$为摆的基频。在我们所取的近似下，$\omega$由\eqref{omega}式给出，$\sin 3\omega t$项称为基频的三次谐波。严格来说，运动中存在无数谐波，但大部分都非常小。在\eqref{try3pendulum}式中，运动的基本部分的振幅是$\theta_0$，三次谐波部分的振幅是$\varepsilon \theta_0$。