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质点沿粗糙球面滑下的命运
美国《物理教师》（Physics Teachers）杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题，得到了下滑到不同位置处质点的速度，并指出，质点最终可能会脱离球面，也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么？文章没有给出，我们探究一下这个问题。
Mathematica 画受力示意图
代码：
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质点沿粗糙球面滑下的命运
美国《物理教师》（Physics Teachers）杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题，得到了下滑到不同位置处质点的速度，并指出，质点最终可能会脱离球面，也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么？文章没有给出，我们探究一下这个问题。
标量、矢量和笛卡尔张量的解析定义
设$(x_1,x_2,x_3)$和$(x'_1,x'_2,x'_3)$是两个固定的笛卡尔坐标系，二者之间的变换关系为：
\begin{equation} x'_i=\beta_{ij}x_j \label{x'x} \end{equation}
逆变换为：
\begin{equation} x_i=\beta_{ji}x'_j \label{xx'} \end{equation}
某量是标量、矢量还是笛卡尔张量，取决于该量的分量是如何用$x_1,x_2,x_3$来定义的，以及如何随坐标系变换而变换的。
标量只有一个分量，$\Phi(x_1,x_2,x_3)$，坐标系变换后，$\Phi(x_1,x_2,x_3)$变为$\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3)$，有如下关系：
\begin{equation} \Phi(x_1,x_2,x_3)=\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3) \label{scalar} \end{equation}
矢量，或一阶张量，有三个分量，$\xi_i$，坐标系变换后，$\xi_i(x_1,x_2,x_3)$变为$\xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)$，有如下关系：
\begin{equation} \begin{cases} \xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ik} \\ \xi_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi'_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ki} \end{cases} \label{vector} \end{equation}
推广到两个下标，这样的量有9个分量，称为二阶张量，满足如下关系：
\begin{equation} \begin{cases} t'_{ij}(x'_1,x'_2,x'_3)=&t_{mn}(x_1,x_2,x_3)\beta_{im}\beta_{jn} \\ t_{ij}(x_1,x_2,x_3)=&t'_{mn}(x'_1,x'_2,x'_3)\beta_{mi}\beta_{nj} \end{cases} \label{tensor} \end{equation}
可以进一步推广至更高阶张量。
这里张量的定义基于由一个笛卡儿直角坐标系转换到另一个笛卡儿直角坐标系，这样定义的张量称为笛卡儿张量。
薄物体在平面上的运动
DJM 解二阶抛物型方程
解形如$u_t=g(u_{xx},u_x,u,x,t)$的方程，方程的形式可变为$u(x,t)=u(x,t=0)+\int_0^tg(u_{xx},u_x,u,x,t)\mathrm dt=u(x,t=0)+N(u)$，可利用DJM求解。
带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动？
球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动，很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动，摩擦力是根本影响因素。但是，带有棱角的物体沿斜面的运动，却甚少有讨论。
我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。如图1所示。
图1 斜面上的物块的受力示意图。
耶鲁基础物理6.4 做功与路径
设与一维空间类似，有这样一种情况成立，即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样，将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到
$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$
要得到这个公式，这个关系一定成立吗？
耶鲁基础物理3.2牛顿第二定律
牛顿第二定律表述为：设一个物体具有加速度$\boldsymbol a$，那么，使物体具有此加速度的力为：
$$ \boldsymbol F=m\boldsymbol a \label{3.1}\tag{3.1} $$