质点沿粗糙球面滑下的命运



美国《物理教师》(Physics Teachers)杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题,得到了下滑到不同位置处质点的速度,并指出,质点最终可能会脱离球面,也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么?文章没有给出,我们探究一下这个问题。

根据牛顿第二定律,有

\begin{equation} mg\cos\theta - N = mv^2/R=mR\dot{\theta}^2 \label{an} \end{equation}

\begin{equation} mg\sin\theta - \mu N = mR\ddot{\theta} \label{at} \end{equation}

质点不脱离球面,要求$N \ge 0$。显然,$v_0 \le \sqrt{gR}$,否则质点直接从球面上飞过,不会下滑。

将\eqref{an}式对$\theta$求导,得

\begin{equation} \begin{split} \frac{dN}{d\theta}=&-mg\sin\theta-2mR\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}\\ =&-mg\sin\theta-2mR\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{dt}\frac{dt}{d\theta}\\ =&-mg\sin\theta-2mR\ddot{\theta} \end{split} \label{dN} \end{equation}

将\eqref{at}式代入上式,得

\begin{equation} \begin{split} &\frac{dN}{d\theta}=-mg\sin\theta-2(mg\sin\theta - \mu N)\\ &\frac{dN}{d\theta}-2\mu N=-3mg\sin\theta \end{split} \label{dNd} \end{equation}

这是一个一阶线性非齐次微分方程,解之得

\begin{equation} \begin{split} N(\theta)=&e^{\int_0^{\theta}2\mu d\theta}\left[\int_0^{\theta}e^{\int_0^{\theta}-2\mu d\theta}(-3mg\sin\theta)d\theta+C \right]\\ =&Ce^{2\mu \theta}-3mge^{2\mu \theta}\int_0^{\theta}e^{-2\mu \theta}\sin\theta d\theta \\ =&Ce^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta}{1+4\mu^2} \\ =&(mg-mv_0^2/R)e^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2} \\ =&N(0)e^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2} \end{split} \label{N} \end{equation}

由\eqref{an}式和\eqref{N}式,可得质点速率

\begin{equation} \begin{split} V(\theta)=&\frac{v}{\sqrt{gR}}=\sqrt{\cos\theta-\frac{N}{mg}} \\ =&\sqrt{\cos\theta-(1-V_0^2)e^{2\mu \theta}-3\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2}} \end{split} \label{V} \end{equation}

光滑球面

如果球面光滑,$\mu=0$,代入\eqref{N}式,得

\begin{equation} \begin{split} N(\theta)=&N(0)+3mg(\cos\theta-1)\\ =&mg(3\cos\theta-2)-m\frac{v_0^2}{R}\\ =&mg(3\cos\theta-2-V_0^2) \end{split} \label{Nf=0} \end{equation}

将$\mu=0$代入\eqref{V}式,得速度随位置的变化关系

\begin{equation} V(\theta)=\sqrt{V_0^2+2(1-\cos\theta)}\gt 0 \label{Vf=0} \end{equation}

显然,质点不会停止,不可能停留在球面上。

质点可能会脱离球面,$N(\theta)=0$,得脱离球面的位置为

\begin{equation} \theta=\arccos\left(\frac{V_0^2+2}{3}\right) \label{offf=0} \end{equation}

粗糙球面

质点的命运有三种情况:停驻在球面上、从球面上脱离、滑至球面底部。

如果质点能停驻在球面上,停驻的位置可以根据力的平衡得到

\begin{equation} \theta_{\mathrm s}=\arctan \mu \label{theta-s} \end{equation}

质点停驻时,速度为零,由\eqref{V}式,知要达到此状态,初速度应满足如下关系

\begin{equation} V_{0,\mathrm s}=\sqrt{\frac{4\mu^2-2+2e^{-2\mu\arctan\mu}\sqrt{1+\mu^2}}{1+4\mu^2}} \label{V0-s} \end{equation}

给定$\mu$,如果初速度$V_0 \le V_{0,\mathrm s}$,质点将停驻在球面上,停驻位置由\eqref{V}式给出。如果初速度$V_0 \gt V_{0,\mathrm s}$,质点将脱离球面,脱离位置由$N(\theta)=0$给出,$N(\theta)$见\eqref{N}式。

根据《物理教师》( _Physics Teachers_ )文章的讨论,质点不会下滑至$\theta=\pi/2$处。

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