理论物理极础之插播数学2：积分

“乔治，我干事喜欢反着来。微分能反着来吗？”
“当然可以，莱尼，那就是积分。”

积分

微分处理的是变化率。积分做的是把许许多多微小的增量加起来求和。乍一看，微分与积分毫无关系，其实它们密切相关。

我们先画一个函数$f(t)$的图，如图1所示。

积分的中心问题是计算函数$f(t)$曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚，我们考虑一段函数，如$t=a$和$t=b$之间的函数，选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。

要计算这个面积，我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形（如图3），把这些小矩形的面积加起来，就是我们要求的面积。

当然，这样得到的是近似结果，但是，当矩形的宽度趋于0，我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步，把$t=a$和$t=b$之间的区域分成$N$个次区域，每个次区域的宽度为$\Delta t$。对于某个$t$处的小矩形，宽为$\Delta t$，高为此处的函数值$f(t)$，于是可得此处小矩形的面积为$\delta A =f(t)\Delta t$。

把所有的这些小矩形的面积加起来，就得到要求的阴影部分面积的近似值，

\begin{equation*}A =\sum_i f(t_i)\Delta t\end{equation*}

其中的大写希腊字母$\Sigma$表示求和，即把一系列用$i$标记的值加起来。比如$N=3$，就有

\begin{equation*}A =\sum_i f(t_i)\Delta t=f(t_1)\Delta t+f(t_2)\Delta t+f(t_3)\Delta t\end{equation*}

这里$t_i$表示第$i$个小矩形在$t$轴上的位置。

$\Delta t$趋于0，小矩形数目$N$趋于无穷，求出此时小矩形面积和的极限，此即为要求的面积的准确值，也即是$f(t)$的定积分的定义，写为下式：

\begin{equation*} A =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\sum_i f(t_i)\Delta t=\int_a^b f(t)dt\end{equation*}

积分符号$\int$取代了求和符号，$dt$取代了$\Delta t$，积分符号里面的函数$f(t)$称为被积函数。

把上式中的$b$，换成$T$，得到这样一个积分，

\begin{equation*}\int_a^T f(t)dt\end{equation*}

把$T$看成一个变量，上式这个积分就是变量$T$函数（注意不是$t$的函数）：

\begin{equation*}F(T)=\int_a^T f(t)dt\end{equation*}

由一个给定的函数$f(t)$，定义出一个新的函数$F(T)$。前面的$a$也是可以变的，这里我们不考虑这种情况。这个新的函数$F(T)$称为$f(t)$的不定积分。称为不定积分，因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值，而是积分到另一个变量。对于不定积分，我们通常不写上下限，写为如下形式：

\begin{equation}F(t)=\int f(t)dt\tag{1}\label{eq:infd}\end{equation}

微分和积分之间有深刻联系，如果$F(t)=\int f(t)dt$，则有

\begin{equation*}f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

这个联系就叫做微积分基本定理，下面我们说明一下这个结果的由来。变量$T$有个小的增量，从$T$变到$T+\Delta t$，于是有个新的积分，

\begin{equation*}F(T+\Delta t)=\int_a^{T+\Delta t} f(t)dt\end{equation*}

即在图3阴影部分$t=T$处新加了一块宽为$\Delta t$矩形，于是差$F(T+\Delta t)-F(T)$即为多出来的这块小矩形的面积，

\begin{equation*}F(T+\Delta t)-F(T)=f(T)\Delta t\end{equation*}

两边除以$\Delta t$，

\begin{equation*}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=f(T)\end{equation*}

取极限$\Delta t \rightarrow 0$，有：

\begin{equation*}\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=\frac{dF}{dT}=f(T)\end{equation*}

换一下变量的符号，则有

\begin{equation*}\frac{dF(t)}{dt}=f(t)\end{equation*}

这说明，积分和微分是逆运算，积分的导数即原被积函数。

知道$F(t)$的导数是$f(t)$就能完全确定$F(t)$吗？还不能完全确定，因为$F(t)$加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数$f(t)$，它的不定积分的函数形式是不定的，如果$F(t)$是$f(t)$的不定积分，$F(t)$加上任意常数之后，$F(t)+C$也是$f(t)$的不定积分。

下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数$f(t)=t^n$的积分，

\begin{equation*}F(t)=\int f(t)dt\end{equation*}

根据微积分基本定理，有

\begin{equation*}f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

即

\begin{equation*}t^n=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

现在的任务就是找到一个函数$F(t)$，它的导数是$t^n$，这不是难事。

我们在上一章就已经知道，

\begin{equation*}\frac{d(t^m)}{dt}=mt^{m-1}\end{equation*}

令$m=n+1$，则有

\begin{equation*}\frac{d(t^{n+1})}{dt}=(n+1)t^n\end{equation*}

两边除以$n+1$，有

\begin{equation*}\frac{d(t^{n+1}/n+1)}{dt}=t^n\end{equation*}

因此，$ t^n$是$ \frac{t^{n+1}}{n+1}$的导数，所以，

\begin{equation*}F(t)=\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\end{equation*}

再加上任意的常数，就得到$t^n$的不定积分，

\begin{equation*}\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\end{equation*}

积分常数$C$需要其他的条件来确定。

出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限，即前述的$a$，由$a$就可以确定常数$C$。考虑积分

\begin{equation*}\int_a^Tf(t)dt\end{equation*}

当两个积分限为同一点，即 $T=a$，积分必为0，由此可确定积分常数$C$。

一般情形下的微积分基本定理写为如下形式：

\begin{equation} \int_a^b f(t)dt=F(t)\big |_a^b=F(b)-F(a)\tag{2}\label{eq:def}\end{equation}

另外一个表述方式是

\begin{equation} \int \frac{df}{dt}dt=f(t)+C\tag{3}\label{eq:const}\end{equation}

即对函数的导数积分得到原来的函数（加上一个任意常数）。

以下是几个有用的积分公式：

\begin{equation*}\int C dt=Ct+C'\end{equation*}（注：原文漏掉第二个常数$C'$） \begin{equation*}\int Cf(t)dt=C \int f(t)dt\end{equation*} \begin{equation*}\int t dt=\frac{t^2}{2}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int t^2 dt=\frac{t^3}{3}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int \sin t dt =-\cos t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int \cos t dt =\sin t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int e^t dt = e^t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int \frac{dt}{t} = \ln t +C\end{equation*} （注：原文漏掉常数$C$） \begin{equation*}\int [f(t) \pm g(t)]dt = \int f(t)dt \pm \int g(t) dt \end{equation*}

练习1：求下列函数的不定积分：$$f(t)=t^4$$ $$f(t)=\cos t$$ $$f(t)=t^2-a$$

练习2：取积分限分别为$t=0$和$t=T$，应用微积分基本定理重新计算练习1中的积分。

练习3：把练习1中的函数视为一个粒子的加速度的表达式，积分一次，得到粒子的速度，再积分一次，得到粒子的轨迹。我们取$t$为积分限，把函数的哑变量改为$t'$，将函数从$t'0$积分到$t'=t$，$$v(t)=\int_0^t t'^4 dt'$$ $$v(t)=\int_0^t \cos t' dt'$$ $$v(t)=\int_0^t (t'^2-a) dt'$$

分部积分

计算积分可以查表，或者用数学软件Mathematica。如果不得不手算，有个古老的技巧，非常有用，这就是分部积分。我们曾在上一章讲过两个函数的积的导数：

\begin{equation*}\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+g(x)\frac{df(x)}{dx}\end{equation*}

对上式两边进行积分，从$x=a$积到$x=b$，

\begin{equation*}\int \frac{d[f(x)g(x)]}{dx}dx=\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx + \int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\end{equation*}

上式的左边比较容易，函数导数的积分是函数本身，即上式的左边为

\begin{equation*}f(b)g(b)-f(a)g(a)\end{equation*}

常写为如下形式：

\begin{equation*}f(x)g(x)\vert_a^b\end{equation*}

现在把右边其中一项移到左边，

\begin{equation} f(x)g(x)|_a^b-\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx=\int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx \tag{4}\label{eq:part}\end{equation}

现在考虑计算一个积分，被积函数恰好是一个函数$f(x)$与另外一个函数$g(x)$的导数的积，即方程(\ref{eq:part})右边的形式，如果直接积分没办法算，可以转换成方程(\ref{eq:part})左边的形式，如果运气好，左边的积分$\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx$我们会算，那么方程(\ref{eq:part})右边的积分也就算出来了。

下面我们举个例子。比如计算如下积分：

\begin{equation*}\int_0^{\pi/2}x\cos x dx\end{equation*}

注意到 $\cos x = \frac{d\sin x}{dx}$，于是要求的积分变成

\begin{equation*}\int_0^{\pi/2}x \frac{d\sin x}{dx} dx\end{equation*}

根据方程(\eqref{eq:part})，上式结果为：

\begin{equation*}x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{dx}\sin x dx\end{equation*}

也即

\begin{equation*}x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x dx\end{equation*}

$\int_0^{\pi/2}\sin x dx$我们会算，那么剩下的事情比较容易了，请自己完成。

练习4：完成积分$\int_0^{\pi/2}x\cos x dx$的计算

你可能会问，分部积分这个技巧很常用吗？答案是：很常用，但不是每次都好用，看运气了。