顺磁自旋模型统计物理

计算一个简单的顺磁自旋模型的状态数和熵

原文：Eric Bertin, A concise Introduction to the Statistical Physics of Complex Systems

考虑一个顺磁模型，各自旋彼此独立，只与一均匀外场有相互作用，外场强度为$h$。体系能量为

\begin{equation} E=-h\sum_{i=1}^N s_i,\quad s_i=\pm 1 \tag{1}\label{energy} \end{equation}

相空间（也即构型空间）由集合${ s_i }_{i=1,\cdots,N}$给出。

问给定能量$E$，体系有多少个构型？

能量$E$给定，也即给定磁化强度$M=\sum_{i=1}^N s_i$。设自旋取值为$+1$（也称自旋向上）的自旋数为$N_+$，则磁化强度为$M=N_+-(N-N_+)$，所以给定$M$也即给定$N_+$，于是由基本的排列组合公式知识，构型数为

\begin{equation} \Omega = \frac{N!}{N_+!(N-N_+)!} \tag{2}\label{Omega} \end{equation}

又

\begin{equation} N_+ = \frac{1}{2}\left ( N-\frac{E}{h}\right ) \tag{3}\label{Np} \end{equation}

将此式代入\eqref{Omega}，可以将$\Omega$表示为$E$的函数：

\begin{equation} \Omega (E) = \frac{N!}{\left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]!\left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]!} \tag{4}\label{OmegaE} \end{equation}

熵为

\begin{equation} \begin{split} S(E)=&\ln\Omega (E) \\ =& \ln N! -\ln \left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]! -\ln \left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]! \end{split} \tag{5}\label{Entropy} \end{equation}

如果$N$很大，满足斯特灵公式：

\begin{equation} \ln N! \approx N\ln N-N \tag{6}\label{Stirling} \end{equation}

代入\eqref{Entropy}，得

\begin{equation} S(E)= N\ln N-\frac{N+E/h}{2}\ln \frac{N+E/h}{2} - \frac{N-E/h}{2}\ln \frac{N-E/h}{2} \tag{7}\label{EntropyE} \end{equation}

系统温度$T$满足如下关系：

\begin{equation} \frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{2h} \ln \frac{N-E/h}{N+E/h} \tag{8}\label{T} \end{equation}

由上式可得

\begin{equation} E=-Nh\tanh\frac{h}{T} \tag{9}\label{Eana} \end{equation}

由\eqref{energy}式，$E=-h\sum_{i=1}^N s_i=-Mh$，于是，总磁化强度为

\begin{equation} M=N\tanh\frac{h}{T} \tag{10}\label{M} \end{equation}