从气体经验定律到理想气体状态方程

理想气体定律是怎么推导出来的？

从气体经验定律导出理想气体状态方程是克拉伯龙做的。

对于气体，有三条实验定律：

• 波义耳定律
  温度$T$不变情况下：

$$ pV=\mathrm{Constant} \label{1}\tag{1} $$

• 盖·吕萨克定律
  压力$p$不变的情况下：

$$ \frac{V}{T}=\mathrm{Constant} \label{2}\tag{2} $$

• 查理定律
  体积$V$不变的情况下：

$$ \frac{p}{T}=\mathrm{Constant} \label{3}\tag{3} $$

以上各量都取国际单位，$\mathrm{Constant}$表示常量。

先用下波义耳定律，做两条等温$p-V$线，温度分别为$T_1$和$T_2$，如下图所示。

两条等温线

在等温线$T_1$上任找一点1，在此点处压力和体积分别为$p_1$和$V_1$。

过1分别做水平线和竖直线，与等温线$T_2$分别交于2'和2''。状态2'的体积为$V_{2}'$，状态2''的压力为$V_{2}''$。

在12'线上有

$$ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_{2}'}{T_2} $$

在12''线上有

$$ \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_{2}''}{T_2} $$

从而，

$$ p_1\frac{V_1}{T_1}=p_1\frac{V_{2}'}{T_2} \ \frac{p_1}{T_1}V_1=\frac{p_{2}''}{T_2}V_1 $$

即

$$ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_1V_{2}'}{T_2}=\frac{p_{2}''V_1}{T_2} \label{4}\tag{4} $$

即

$$ p_1V_{2}'=p_{2}''V_1 $$

这个结果不意外，因为2'和2''在同一条等温线上。

在等温线$T_2$上任找一点2，其状态为$(p_2,V_2)$。对于在等温线$T_2$上的2'、2、2''三点，有

$$ \frac{p_2V_2}{T_2}=\frac{p_1V_{2}'}{T_2}=\frac{p_{2}''V_1}{T_2} $$

考虑到\eqref{4}式，

有

$$ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2} \label{5}\tag{5} $$

由于1、2两点都是任选的，因此有

$$ \frac{pV}{T}=\mathrm{Constant} \label{6}\tag{6} $$

对于气体，还有一条实验定律，阿伏伽德罗定律：

同温、同压时，同体积的任何气体含有相同数目之分子。

在标准状态（$p^{\ominus}=10^5\mathrm{Pa}$，$T^{\ominus}=298.15\mathrm K$）下，$1\mathrm{mol}$任何气体的体积是$V_{\mathrm m}=24.78957\mathrm L$。

设气体物质的量为 $n$，在标准状态下，体积为$V^{\ominus}=nV_{\mathrm m}$，于是，有

$$ \frac{pV}{T}=\frac{p^{\ominus}V^{\ominus}}{T^{\ominus}}=n\frac{p^{\ominus}V_{\mathrm m}}{T^{\ominus}} \label{7}\tag{7} $$

其中$\frac{p^{\ominus}V_{\mathrm m}}{T^{\ominus}}$是个与气体状态无关的常量，记作$R$，其值为：

$$ \begin{split} R=&\frac{p^{\ominus}V_{\mathrm m}}{T^{\ominus}}\ =&\frac{10^5\times 0.02478957}{298.15}\mathrm {J/(mol\cdot K)} \ =&8.3145\mathrm {J/(mol\cdot K)} \end{split} $$

我们得到了理想气体状态方程：

$$ pV=nRT $$

本文根据赵凯华、罗蔚茵《新概念物理教程·热学》整理而成。