耶鲁基础物理 7.3 行星轨道



我们来用万有引力定律研究一个简单的例子。

一个质量为$m$的行星绕太阳转,太阳的质量为$M$。因为$M\gg m$,太阳可视为不动。取太阳为参考系的原点,根据牛顿第二定律,有

$$ m\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm dt^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{e}_r \label{7.16}\tag{7.16} $$

式中$\hat{e}_r=\vec{r}/r$为单位向量,方向由太阳指向行星。

这个方程的解应该与开普勒定律一致,即行星沿椭圆轨道运行,它在相同时间内扫过相等的面积,周期的平方与其椭圆轨道半长轴的立方之比与行星的质量无关。

尽管这个方程几个世纪前就写出来和解出来了,但是,现在即便是学过更高等力学课程的学生解这个微分方程也得费很大的劲儿。把这个方程写下来是一回事,解出它并且得到椭圆轨道却是另外一回事。然而,牛顿在几百年前就完成了所有这些工作。

你列出了方程\eqref{7.16},但是得不到这个方程的解,就是说,尽管你推测出来了的万有引力定律,但是却不能判定它是否正确,也不能使他人信服。

这倒不是什么稀罕的事情。以夸克理论为例,我们相信质子、中子等微观粒子由夸克组成。我们认为已经知道了其基本运动方程及其夸克间的作用力。但是,到现在为止,我们还无法给出解析解,证明根据这些方程可以解释观察到的现象和粒子。然而,利用大型计算机做近似计算,我们相当地肯定,经过若干年的工作后,差不多可以确定这些方程是正确的。一个新的理论如果要被接受,它的重要结论必须被准确地或者近似地推导出来,并且必须在可接受的精度内与实验一致。

回到刚才的问题,我们先不去证明,一般情况下的行星轨道是椭圆,而是讲一个特例——圆轨道。

对于一个方程,你可以假设出它的解,再这将个代解回方程,检验它是否正确。假设行星以速率$v$在半径为$r$的圆轨道上运行,我们来看看这个假设是不是方程\eqref{7.16}的解。在沿半径向内的方向上,应用牛顿第二定律,$\vec{F}=m\vec{a}$,我们得

$$ m\frac{v^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2} \label{7.17}\tag{7.17} $$

方程的左边是效应,方程的右边是原因。如果你抡动绳子,使系在其另一端的石块做圆周运动,石块就有向心加速度,绳子的拉力提供了向心力。这里,不可见的太阳引力拉住了这颗行星。

由\eqref{7.17}式可得一个非常有用的等式:

$$ v^2r=GM \label{7.18}\tag{7.18} $$

只要使速率满足这个方程,便可得满足方程的圆轨道。如果你想发射一颗轨道半径为$r$的人造卫星,以符合那个轨道的速率发射就好了。而且只要满足这一等式,在这个轨道上运行的物体是人造卫星、空站间还是一个马铃薯都无所谓,因为绕行物体的质量已经在等中式被消掉了,随之带走的还有物体的特性。

圆形轨道与普勒定律吗?

圆形轨道是椭圆形轨道的特例,即椭圆的长轴和短轴相等。

行星在相等时间内扫过的面积相等吗?

很明显是相等的,因为根据假设,行星以恒定速率$v$和恒定的半径$r$做圆周运动。

现在就剩下开普勒第三定律了,它表述的是运行周期与轨道大小的关系。

行星的运行速率$v$等于其轨道周长$2\pi r$除以转动周期$T$,即

$$ v=\frac{2\pi r}{T} \label{7.19}\tag{7.19} $$

代入\eqref{7.18}式,有

$$ \frac{4\pi^2 r^3}{T^2}=GM \label{7.20}\tag{7.20} $$

$$ \frac{T^2}{ r^3}=\frac{4\pi^2}{GM} \label{7.21}\tag{7.21} $$

这就是开普勒第三定律,对于圆来说,半径$r$就是椭圆的长半轴$a$,等式右侧仅与太阳有关,与行星无关。

牛顿开在普勤之后的新果成是什么呢?

开普勤说$T^2/a^3$对于所有行星都是常数,但是没有说这个常数与什么量相关。而牛顿得到了这个常数,它取决于太阳的质量、$\pi$和万有引力常数$G$。将数字代入,$\frac{4\pi^2}{GM}\approx 3\times 10^{-19}\mathrm{s^2/m^3}$,与之前过见的太阳系中各行星的数据几乎完全一致。

原子物理学中也有类似的情况,一位名叫约翰·巴耳末的中学老师分析了氢原子辐射光波的频率,发现所有的频率满足下面的等式,

$$ f=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \label{7.22}\tag{7.22} $$

式中,$R$是常数,$n_1$和$n_2$($n_2\gt n_1$)是两个任意的正整数。他从数据中得到了常数$R$的值,但是不知道其的意义。后来,玻尔通过量子化假设得到了这种形式的方,并得到了$R$,可用普朗克常数、电子质量和电量等基本常数表示出来。

巴耳末的工作之于玻尔,正如开普勒的工作之于牛顿,即把复杂的数据凝练为简单的公式,这样理论物理家学就可以将作之为突破口。玻尔对原子的研究正如牛顿对引力的研究,都从理论上揭示了隐藏在实验观测背后的规律。

现在,运用公式\eqref{7.21}你可以解决多很问题。这个公式中的$M$是较重物体的质量,也就是推导过程中的“太阳"。下面举个有意思的例子。


图7.2
图7.2 从北极点俯瞰地球,有三颗人造地球同步卫星。每个卫星都在地面的某个固定上点上空运行,每24h转一圈,并且其信号可覆盖地球上的一区个域,如图所示。通过我们与人造卫星,以及人造卫星之间的信号传递,无论我们在地球上的哪个地方,都能与地球上的他其地方进行通信。如果卫星3可以收到自$B$点发送的比赛实况信号,那么,它可就以将图像传送到卫星1,如图中虚线所示,接下来这信号又发射给位于$A$点的我。

图7.2画的是我们从北极点下向看到的地球。我位于$A$点,想看一场正在$B$点举行的网球比赛。转播信号使用的是无线电波,但是无线电波不能穿过地球,并且只能沿直线传播。解决的办法山利用三颗卫星,它们位于一个特定的三角形的顶点上,如图7.2所示。每颗卫星的信号覆盖地球表面的一部分。如果将$B$点多图像发送给卫星3,然卫后是3接着把图像发送给卫星1,如中图虚线所示,最后卫星1将相应的信号发射给我了,因为我在它信号所覆盖的锥区形域内。

有3颗布局合理的人造地球卫星,那么通过这种方式,无论你在地球上的何处,都可以借助它们与地球上的其地他方进行通信。但是,卫星得在任意时间都出现在合适的地方,如果它们一直乱动,就不行了。因此,通信卫星得是“地球同卫步星”。在北极点俯瞰地球,会看到地球沿顺时针方向自转。为了使卫星一直停留在地面上某个点的上空,这些卫星的运行周期应该是24h。现在的问题是,应该将它们发射到什么高度呢?把$T=24\mathrm h$,$M$为地球质量,代入公式

\begin{equation}
\frac{T^2}{ a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}
\label{7.23}\tag{7.23}
\end{equation}

可得轨道半径为$a=42,200\mathrm {km}$。

卫星轨道速度是多少?

根据公式$v=2\pi a/T$求得。

当然,如果使用的卫星超过三颗,那么电视和手机信号的效果更佳。

标签: 万有引力

添加新评论

captcha
请输入验证码