耶鲁基础物理 7.2 万有引力



牛顿提出的运动定律是,力与加速度,而非速度,联系在一起。如果你观察一颗运 动的行星,认为它由于受到了力的作用而具有了速度,那么,你对力的含义没有把握到位。另一方面,如果计算行星的加速度,你就会发现,在任意时刻,加速度都 是指向太阳的。如果所有行星的加速度都指向太阳,那么,显然,加速度就是太阳造成的。于是,自然会想到太阳对行星有力的作用,使行星轨道弯曲成一个椭圆,问题了,找到这个力,看看这个力有什么性质?

再一次,又是牛顿解决了这个问题。他发这现使行星围绕太阳运动的力,使月亮围绕地球运转的力,使苹果落地的力,是一样的力。

月亮绕地球运动的轨道很接近圆,设轨道半径为$R_{\mathrm m}$,速率为$v_{\mathrm m}$,加速度指向地球,大小为

\begin{equation}
a_{\mathrm m}=\frac{v_{\mathrm m}^2}{R_{\mathrm m}}
\label{7.4}\tag{7.4}
\end{equation}

对于苹果,加速度也指向地球,大小为

\begin{equation}
a_{\mathrm a}=g=9.8\mathrm{m/s^2}
\label{7.5}\tag{7.5}
\end{equation}

让我们猜一猜苹果所受的力的公式。

我们知道,在地面附近,所有物体的加速度都相同,因此,从公式$a=F/m$可推知,重力与下落物体质量成正比,除以物体质量之后才会没有质量,因此,苹果受力为如下形式:

\begin{equation}
F_{\mathrm a}=m_{\mathrm a}f(M_{\mathrm e},R_{\mathrm e})
\label{7.6}\tag{7.6}
\end{equation}

式中未知函数$f$是地球质量$M_{\mathrm e}$、地球半径$R_{\mathrm e}$的函数,这里$R_{\mathrm e}$也是苹到果地球中心的距离$R_{\mathrm a}$。

下一步如何继续推理?

根据牛顿第三定律, 地球对苹果施加了一个力,那么,苹果将对地球也施加一个大小相等方向相反的力。地球受到苹果施加的力应该与\eqref{7.6}形式一样,$F_{\mathrm e}=M_{\mathrm e}f(m_{\mathrm a},R_{\mathrm a})=F_{\mathrm a}=m_{\mathrm a}f(M_{\mathrm e},R_{\mathrm e})$,又$R_{\mathrm a}=R_{\mathrm e}=R$,因此,地球和苹果之间力的形式为$F=m_{\mathrm a}M_{\mathrm e}f(R)$,也就是说,质量分别为$m$和$M$的两个物体之间的引力为

$$ F=mMf(R) \label{7.7}\tag{7.7} $$

这里$R$是两个物体之间的距离,$f(R)$的具体形式我们依然不知道。

为找出$f(R)$的具体形式,我们比较一下由地球引力引起的苹果与月亮的加速度:

$$ a_{\mathrm a}=M_{\mathrm e}f(R_{\mathrm a}) \label{7.8}\tag{7.8} $$

$$ a_{\mathrm m}=M_{\mathrm e}f(R_{\mathrm m}) \label{7.9}\tag{7.9} $$

$$ \frac{a_{\mathrm a}}{a_{\mathrm m}}=\frac{f(R_{\mathrm a})}{f(R_{\mathrm m})} \label{7.10}\tag{7.10} $$

我们已经知道$a_{\mathrm a}=9.8\mathrm{m/s^2}$,$a_{\mathrm m}=v_{\mathrm m}^2/R_{\mathrm m}$。

又可查知,$R_{\mathrm m}\approx 3.8\times 10^5\mathrm{km}$,$R_{\mathrm a}\approx 6400\mathrm{km}$。

我们可以估算月球速率。

月球绕地球一周,时间是$T=28天$,月球速率$v_{\mathrm m}=2\pi R_m/T$,加速度为

$$ a_{\mathrm m}=\frac{(2\pi R_m/T)^2}{R_{\mathrm m}} \label{7.11}\tag{7.11} $$

代入数据,

$$ \frac{a_{\mathrm a}}{a_{\mathrm m}}\approx 3600 =\frac{f(R_{\mathrm a})}{f(R_{\mathrm m})} \label{7.12}\tag{7.12} $$

又$\frac{R_{\mathrm a}}{R_{\mathrm m}}\approx 60$,你不是牛顿你也能看出来

$$ f(R)\propto \frac{1}{R^2} \label{7.13}\tag{7.13} $$

设比例系数为$G$,由\eqref{7.7},我们便得到伟大的万有引力定律

$$ F=G\frac{mM}{R^2} \label{7.14}\tag{7.14} $$

$$ G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{Nm^2/kg^2} \label{7.15}\tag{7.15} $$

在前面的讨论中,我们假设苹果与地球间之的距离为$R_{\mathrm e}$,即地球的半径(加上苹果树的高度,但是它相比地球半径实在太小,故略去。)。 为什么在计算中不用那棵苹果树的高度呢?

其实,牛顿这的公式是对两个质点写的,它们之间的距离是很明确的。

地球能看做质点吗?

貌似不能,但数学告诉我们,能。

对于地球正确的处理方法是:将地球分成许多微元,求出每一微元对于苹果的引力,然后对这些引力求和或者进行积分。计算所得的结果是:地球与将其全部质量集中于其球心的质点的作用是等效的。牛顿知道这是正确的,但是,在很多年内他都不满意自己的证明,因此,他才推迟了发表。即使在今天,这也是个比较难的积分问题 。

还有一个简单的结果。假设你在一个质量为$M$的均匀空心球壳内部,你会感受到力的作用吗?很明显,如果你在球心,将感受不到力作的用,这是因为球壳上每个微元对你的引力,都存在一个相等反向的引力。其实,在球壳内部的任一地方,你受到的引力均为零,尽管这不是那么显而易见,但它是正确的。当然,在球壳外面,你受到的引力等于质量为$m$且位于球心的质点对你的引力。

总之,若质量的分布具有球对称性,那么作用于距球心$r$处物体引力,取决于$r$以内的质量,即等于这将部分质量视为集中于球心的质点所施加的引力,而半径$r$以外的质量对两者间的引力没有贡献。

公式\eqref{7.14}被称为万有引力定律,这是很恰当。相信适用地于球表面附近的定律同样也适用于月球以及遥远之处,是人类信念的巨大飞跃。那时是1687年,那时候,人们相信的是巫术,有各种迷信,他们不是以现代科学方式去思考的。对于上天是怎样构成的,他们抱有许多幻想。在那个年代,要相信上天与地球是由 相同的基本物质所构成,而且还遵循着相同的运动定律,是非常不容易的。

科学已经证明,牛顿信念上的巨大飞跃是非常有先见之明的:不仅仅是万有引力定律,而是所有在地球表面推导出的物理定律似乎都适用于整个宇宙,不只现在是,过去也这样,而且我们希望将来也如此。的确,我们知道,来自遥远星系和类星体的光要经过很长很长的时间才到达我们,当下在天空观测到的是很久以前所发生的现象,然而,我们仍然用最新发现的理论去分析它们。

在宇宙的长河之中,我们只在一段极短的时间内检验了宇宙中极其微小的部分,然而,我们在这里和现在得到到定律却应用到了遥远广袤的宇宙,一直追溯到“大爆炸”之时。我们非常自信地预测着宇宙的未来。对我们来说,一个重大的突破就是,我们得到的定律似乎具有普适性和永恒性。

没有什么要求科学和世界必须如此,然而,竟然如此。

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