耶鲁基础物理 6.5 保守力
保守力很奇妙，可以对应势能函数，进而得到能量守恒定律。能量守恒定律很方便我们处理问题。
但是，如果随意地挑出一个力，有很大可能，力做功与路径相关。
有没有做功与路径无关的保守力呢？如果有，如何才能找出它们呢？
不要绝望。现在直接告诉你一个方法：
- 任取一个函数$U(x，y)$
- 与之相应的保守力为：
$$\vec{F}＝-\hat{i}\frac{\partial U}{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial U}{\partial y}\label{6.73}\tag{6.73}$$
- 与这个保守力相应的势能函数就是$U$本身。
举一个例子。
$$U（x，y）＝ xy^3 \label{6.74}\tag{6.74}$$
$$\frac{\partial U}{\partial x}=y^3\label{6.75}\tag{6.75}$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}=3xy^2\label{6.76}\tag{6.76}$$
$$\vec{F}＝-\hat{i}y^3-\hat{j}3xy^2\label{6.77}\tag{6.77}$$
我来证明一下这个方法可行。
设发生了一个由$(x，y)$到$(x＋\mathrm dx，y＋\mathrm dy)$微小偏移，在所有增量均趋于零的极限下，得到函数$U$的增量为:
$$\mathrm dU＝\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm dy\label{6.78}\tag{6.78}$$
由\eqref{6.73}式，有：
$$ \mathrm dU＝-F_x\mathrm dx-F_y\mathrm dy＝-\vec{F} \cdot \mathrm d\vec{r}\label{6.79}\tag{6.79}$$
将所有增量加起来，即将上式积分，得
$$ U(1)-u(2)＝ \int_1^2 \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{r}＝K_2－K_1 \label{6.80} \tag{6．80} $$
这里，$U$为势能函数，此式正是能量守恒定律。
这样，我构造出了一个力$\vec{F}$，它点乘元位移$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$是某个函数$U$的增量。将所有的$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$相加，我将会得到函数$U$从起点到终点的增量。现在，你体会到了为什么某些积分与路径无关了吗？
先不要管积分，打个比方说明一下。
想象我处在丘陵地带。我从一个点出发，到达另外一个点。我每走一段就查看一下高度的变化，将上山记为正，下山为负，这就像那个$\mathrm dU$。我将它们都加在一起。总的高度变化就是起点与终点的高度差。
现在，你与我从同一个点出发，但是走不同的路径，你转遍了所有的地方，但是最终停在我的终点。如果比较我们走过的路程，你我结果当然是不一样的。但是，如果查看每一步高度的变化，并且将它们都加在一起，你我的结果不然是相同的。
重复一下，如果查看的是一个高度函数的增量，那么，所有高度变化的总和只不过是终点的高度减去起点的高度，与你我走过的路径是没有关系的。反过来，由高度函数出发，你构造出一个力$\vec{F}$，它的各个分量是高度函数的偏导数，那么，$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$给出的是每个线元上高度的增量，做线积分就可以得到起点和终点间的高度差，这与路径无关。
保守力对于闭合路径的积分，起点和终点恰好重合在一起，这是计算$U$在同一个点上的增量，结果当然是零，因此，保守力对于任意的闭合路径均为零。即如果$\vec{F}$是保守力，则
$$\oint \vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}＝0 \label{6.81}\tag{6．81}$$
是否还可以用其他方法构造出保守力呢？
不可以！可以证明每个保守力均可以通过对某个函数进行微分而获得。
大家是否记得，上一节，我们随意写了一个力，对它沿着两条路径进行积分得到了不同的答案吗？那时我的处境有多么不妙，要是我们随手写出的力恰好是保守力，结局会如何呢？那我会非常尴尬，我得到的答案将是相同的。要避免这种难堪的出现，我要先确定随手写出的力不是保守力。
我怎样知道我们随手写的那个力是不是保守力呢？
我会问自己：“是否可能存在一个函数$U$，它的导数的负值与$\hat i$和$\hat j$组合之后等于$\hat i2x^2y^2＋\hat jxy^2$？我知道答案将是否定的，因为如果将这个函数$U$对$y$求一次导数得到$F_y$，那么，$F_y$中$y$的指数会比$F_x$中$y$的指数小1。然而，在我们的例子中，这两者的，指数是相同的。
把力沿路径积分，只要找到两个路径，积分结果不同，就可以判定这个力不是保守力，就像我们上一节所做的那样。任意取两个固定点，将力沿其间的两条其至是两千条路径积分，即使都得到相同的结果，也不意味着这个力一定是保守力，可能只是凑巧，你找到这些路径，积分都一样。换其他路径，或换路径初末点，可能得到不同的积分结果，证明这个力是作保守力。
但是，如果某个力确实是保守力，怎么能证明这一点呢？这里我来说一个简单的方法。
如果$\vec{F}$是保守力，它一定来自一个函数$U$的偏导数，见\eqref{6.73}式，于是有
$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x} \label{6.82}\tag{6.82} $$
$$ \frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y} \label{6.83}\tag{6.83} $$
因为$\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}$，所以有
$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x} \label{6.84}\tag{6.84} $$
给你一 个力， 并且问你： “它是不是保守力？” 你只要按上式求两个导数，即可判断出来。
比如，判断下面这个力是不是保守力，
$$ \vec{F}(x,y)=2x^2y^2\hat{i}+xy^2\hat{j} \label{6.85}\tag{6.85} $$
根据\eqref{6.84}式，有
$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=4x^2y\neq \frac{\partial F_y}{\partial x}=y^2 \label{6.86}\tag{6.86} $$
可见，这个力不是保守力。
根据这个方法，可以判断出，万有引力和静电力，都是保守力。