纵身一跳即能逃离的小行星最大有多大?



设在地球上你能跳起高度为$h$,肌肉做功$\thicksim mg_{\mathrm E}h$,这里$m$是人的质量,$g_{\mathrm E}=\frac{GM_{\mathrm E}}{R_{\mathrm E}^2}$ 是地球上的重力加速度,$G$是万有引力常数,$M_{\mathrm E}$是地球质量,$R_{\mathrm E}$是地球半径。在小行星上,人纵身一跳,逃离小行星,肌肉做功$\thicksim \frac{GM_{\mathrm A}m}{R_{\mathrm A}}$,这里$M_{\mathrm A}$是小行星质量,$R_{\mathrm A}$是小行星半径。在小行星和地球上,你的肌肉做功能力差不多,有$mg_{\mathrm E}h\thicksim \frac{GM_{\mathrm A}m}{R_{\mathrm A}}$。假设小行星的物质组成与地球差不多,密度相等,$\frac{M_{\mathrm E}}{R_{\mathrm E}^3}=\frac{M_{\mathrm A}}{R_{\mathrm A}^3}$。最终,我们得$R_{\mathrm A}\thicksim \sqrt{R_{\mathrm E}h}\thicksim 10^0\mathrm{km}$,地球半径为$6400\mathrm{km}$,人跳起的高度约为$10^{-3}\mathrm{km}$,即小行星最大是几千米。

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