系绳球运动

《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题12：

系绳球游戏的要求，游戏者要尽量快速地猛力击球，使拴在竖直柱上的绳沿一个方向缠绕在柱上，而让对手来不及使绳沿相反方向缠绕。这个游戏十分激烈，球的运动学分析也非常复杂。让我们考虑一种简化了的运动：游戏者一击之后，给球一个初速率$v_0$，随着绳在柱上缠绕，球在水平面上做螺旋运动，其半径不断减小。设绳长为$l$，柱半径$a\ll l$。
(a) 瞬时转动中心在哪里？
(b) 绕通过柱中心的轴是否有力矩？角动量是否守恒？
(c) 设动能守恒，球转了5整圈之后，角速度是多少？

解答：

(a) 瞬时转动中心在绳与竖直柱相接触处。俯视图如下：

(b) 显然力矩为0，角动量守恒。

(c) 计算关于柱的角速度。

与球-柱中心连线垂直的速度分量为$v_{\perp}=v_{0}\cos\theta=v_{0}\frac{x}{r}$，角速度$\omega=\frac{v_{\perp}}{r}=v_{0}\frac{x}{r^2}$，代入$x=l-10\pi a$，$r^2=a^2+x^2=a^2+(l-10\pi a)^2$，得角速度$\omega=v_{0}\frac{l-10\pi a}{a^2+(l-10\pi a)^2}\approx \frac{v_{0}}{l-10\pi a}$