质心参考系中处理两个粒子的弹性碰撞

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本文内容整理自《伯克利物理学教程·力学》。

考虑两个粒子弹性碰撞问题。两个粒子质量分别为$M_1$和$M_2$，$M_1$与$M_2$碰撞，碰撞之后，$M_1$运动方向相对于原运动方向偏转一个角度$\theta_1$（也称散射角）。我们求一下$\theta_1$的取值范围。

不失一般性，选定一个这样的参考系（实验室参考系），碰撞之前$M_2$静止于这个参考系。$M_1$以速度$\vec{v}_1$与$M_2$碰撞，碰撞之后，两粒子速度分别为$\vec{v}'_1$和$\vec{v}'_2$，与$\vec{v}_1$的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$。

实验室参考系

碰撞过程在一个平面内进行，在此平面内，我们可以以$\vec{v}_1$方向为$x$轴正方向，垂直于$x$轴建立$y$轴。

根据动量守恒定律有

\begin{equation} M_1v_1=M_1v'_1\cos\theta_1+M_2v'_2\cos\theta_2 \label{momentumconsx} \end{equation}

\begin{equation} 0=M_1v'_1\sin\theta_1+M_2v'_2\sin\theta_2 \label{momentumconsy} \end{equation}

根据机械能守恒，有

\begin{equation} \frac{1}{2}M_1v_1^2=\frac{1}{2}M_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}M_2{v'}_2^2 \label{energycons} \end{equation}

由以上三式就可求出我们感兴趣的任何量，不过会很繁琐，比如求$\theta_1$的取值范围。

但是，在质心参考系中会就会简洁得多，而且更有启发性。

先求质心在实验室参考系中的速度。

$M_1$和$M_2$在实验室参考系中的位置矢量分别为$\vec{r}_1$和$\vec{r}_2$，于是，质心位置矢量为

\begin{equation} \vec{R}_{\mathrm {cm}}=\frac{M_1\vec{r}_1+M_2\vec{r}_2}{M_1+M_2} \label{Rcm} \end{equation}

质心速度为

\begin{equation} \vec{V}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm {cm}}=\frac{M_1\dot{\vec{r}}_1+M_2\dot{\vec{r}}_2}{M_1+M_2}=\frac{M_1\vec{v}_1}{M_1+M_2} \label{V} \end{equation}

设在质心参考系中，$M_1$和$M_2$碰撞前后的速度分别为$\vec{u}_1$、$\vec{u}_2$和$\vec{u}'_1$、$\vec{u}'_2$，如图所示。

质心参考系

实验室坐标系和质心参考系速度之间的关系为

\begin{equation} \begin{split} \vec{v}_1=\vec{u}_1+\vec{V},&\quad \vec{v}_2=\vec{u}_2+\vec{V} \\ \vec{v}'_1=\vec{u}'_1+\vec{V},&\quad \vec{v}'_2=\vec{u}'_2+\vec{V} \end{split} \label{vuV} \end{equation}

在质心系中，由于动量守恒和质心静止，要求$M_1$和$M_2$的散射角相同，碰撞前后，$M_1$和$M_2$的轨迹都保持共线，即

\begin{equation} \begin{split} M_1\vec{u}_1=M_2\vec{u}_2& \\ M_1\vec{u}'_1=M_2\vec{u}'_2 \end{split} \label{ucons} \end{equation}

因此，质心散射角$\theta\in[0,\pi]$，具体值由$M_1$和$M_2$相互作用细节确定。

$M_1$和$M_2$如果发生弹性碰撞，动能守恒

\begin{equation} \frac{1}{2}M_1u_1^2+\frac{1}{2}M_2u_2^2=\frac{1}{2}M_1{u'}_1^2+\frac{1}{2}M_2{u'}_2^2 \label{uenergycons} \end{equation}

由\eqref{ucons}、\eqref{uenergycons}两式得

\begin{equation} u_1=u'_1,\quad u_2=u'_2 \label{ueq} \end{equation}

回到实验室参考系，$M_1$散射角

\begin{equation} \tan\theta_1=\frac{v'_{1y}}{v'_{1x}}=\frac{v'_1\sin\theta_1}{v'_1\cos\theta_1}=\frac{u'_1\sin\theta}{u'_1\cos\theta+V}=\frac{u_1\sin\theta}{u_1\cos\theta+V} \label{tan1V} \end{equation}

由\eqref{V}和\eqref{vuV}两式得

\begin{equation} \vec{V}=\frac{M_1\vec{v}_1}{M_1+M_2}=\frac{M_1}{M_1+M_2}(\vec{u}_1+\vec{V})，\vec{V}=\frac{M_1}{M_2}\vec{u}_1 \label{Vu1} \end{equation}

代入\eqref{tan1V}式，得

\begin{equation} \tan\theta_1=\frac{\sin\theta}{\cos\theta+M_1/M_2} \label{tan1M} \end{equation}

下面讨论$\theta_1$的取值范围，分以下三种情况：

(1) $M_1\lt M_2$

当$\cos\theta=-M_1/M_2$，$\tan\theta_1\to\infty $，因此$\theta_1$的取值范围是$0\le\theta_1\le\pi$。

\eqref{tan1M}式曲线如下图所示

$M_1\lt M_2$时，$\theta_1-\theta$曲线

(2) $M_1= M_2$

当$\theta=\pi$时，$\tan\theta_1\to\infty $，因此$\theta_1$的取值范围是$0\le\theta_1\le\pi/2$。

\eqref{tan1M}式曲线如下图所示

$M_1=M_2$时，$\theta_1-\theta$曲线

(3) $M_1\gt M_2$

$\tan\theta_1$不趋于无穷，有个极值，由$\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\tan\theta_1=\frac{1+\frac{M_1}{M_2}\cos\theta}{\left (\cos\theta+M_1/M_2 \right )^2}=0$，得$\theta_1$最大值为$\arctan(M_2/\sqrt{M_1^2-M_2^2})=\arcsin(M_2/M_1)$，因此$\theta_1$的取值范围是$0\le\theta_1\le\arcsin(M_2/M_1)$。

\eqref{tan1M}式曲线如下图所示

$M_1>M_2$时，$\theta_1-\theta$曲线