推导惯性系之间的坐标变换

惯性系之间的坐标变换，牛顿力学中为伽利略变换，狭义相对论中为洛伦兹变换，可以在同一框架下推导出来。更妙的是，推导洛伦兹力变换，不需要用到光速不变。

如上图所示，对于两个参考系$S$和$S'$，在$t=t'=0$时刻，两参考系重合，$S'$系相对$s$系以速度$u$沿$x$轴方向匀速运动。

两个坐标系之间必然是线性变换，应有如下变换关系（参考大学物理通用教程·光学与原子物理）：

\begin{equation} \begin{split} x'=&A_1x+A_2t\\ y'=&y\\ z'=&z\\ t'=&B_1x+B_2t \end{split} \label{transOri} \end{equation}

对于$S'$系的坐标原点$O'$，在$S'$系的坐标总是$x'=0$，在$S$系坐标为$x=ut$，于是有：

\begin{equation} x'=\gamma (x-ut) \label{xx'} \end{equation}

同理，有

\begin{equation} x=\gamma' (x'+ut') \label{x'x} \end{equation}

参考系$S$和$S'$地位平等，因此将\eqref{xx'}式中$u$替换为$-u$，$x$和$x'$互换位置，$t$替换为$t'$，就可得\eqref{xx'}式的逆变换，与\eqref{x'x}式对照，知$\gamma'=\gamma$，即

\begin{equation} x=\gamma (x'+ut') \label{Ixx'} \end{equation}

并还可推知，如果$\gamma$是$u$的函数，必是$u$的偶函数，$\gamma(u)=\gamma(-u)$。由于$\gamma$是无量纲量，因此$\gamma(u)=\gamma(u/c)$，其中$c$是一个具有速度量纲量，它不可能由时空坐标及其导数组合出来，否则坐标变换就不是线性变换了，因此只能是一个不依赖于参考系的常量。

由\eqref{xx'}、\eqref{Ixx'}式可得，

\begin{equation} t'=\gamma\left[t-\frac{1}{u}\left(1-\frac{1}{\gamma^2}\right)x \right ]=\gamma\left(t-\frac{\delta}{u}x\right ) \label{t't} \end{equation}

其中

\begin{equation} \delta=\frac{1}{1-\gamma^2} \label{delta} \end{equation}

下面确定$\gamma$和$\delta$。

$\gamma$无非两种情况，(1)是无量纲常数$\gamma=C$或(2)是$u$的函数$\gamma(u)=\gamma(u/c)$。具体选哪种情况，由实验来决定。

对于第一种情况，如果$C=1$，变换\eqref{x'x}、\eqref{t't}正是伽利略变换。如果$C\neq 1$，两个惯性系的空间长度和时间长度将等比例缩放。

如果$\gamma=\gamma(u/c)$。为了确定函数的具体形式，我们先求出速度变换。

\begin{equation} \begin{split} v_{x'}'=& \frac{\mathrm dx'}{\mathrm dt'}=\frac{\mathrm dx-u\mathrm dt}{\mathrm dt-\frac{\delta}{u}\mathrm dx}=\frac{v_x-u}{1-\frac{\delta}{u}v_x}\\ v_{y'}'=& \frac{\mathrm dy'}{\mathrm dt'}=\frac{\mathrm dy}{\gamma\left(\mathrm dt-\frac{\delta}{u}\mathrm d x\right )}=\frac{u_y}{\gamma\left(1-\frac{\delta}{u}v_x\right )}\\ v_{z'}'=& \frac{\mathrm dz'}{\mathrm dt'}=\frac{u_z}{\gamma\left(1-\frac{\delta}{u}v_x\right )} \end{split} \label{velocitytrans} \end{equation}

速度大小的平方

\begin{equation} \begin{split} v'^2=&v_{x'}'^2+v_{y'}'^2+v_{z'}'^2\\ =&\frac{\gamma^2(v_x-u)^2+v_y^2+v_z^2}{\gamma^2\left(1-\frac{\delta}{u}v_x\right )^2}\\ =&\frac{(v_x-u)^2+(1-\delta)(v^2-v_x^2)}{\left(1-\frac{\delta}{u}v_x\right )^2}\\ =&\frac{v^2-2v_xu+u^2-(v^2-v_x^2)\delta}{1-2\frac{\delta}{u}v_x+\left(\frac{\delta}{u}v_x \right)^2} \end{split} \label{v'2} \end{equation}

速度$c$不依赖于参考系，因此，当$v'=c$时，必有$v=c$，代入上式，得关于$\delta$的二次方程

\begin{equation} \begin{split} &\frac{c^2v_x^2}{u^2}\delta^2+(c^2-2\frac{c^2v_x}{u}-v_x^2)\delta+2v_xu-u^2=0\\ &\left(\frac{c^2}{u^2}\delta-1\right)(v_x^2\delta-2v_xu+u^2)=0 \end{split} \label{sq} \end{equation}

解之得，$\delta=u^2/c^2$或$\delta=\frac{2v_xu-u^2}{v_x^2}$。显然第二个根不合物理意义，因为它依赖于坐标系的定义。只取$\delta=u^2/c^2$，由\eqref{delta}式知$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$，代入\eqref{x'x}、\eqref{t't}式，得洛伦兹变换。

做个总结。

只需假设所有的惯性系都是平等的，一个惯性参考系中的匀速运动在其他惯性参考系中也是匀速运动，我们可推导出参考系之间的变换关系有两种。一种是（类）伽利略变换，另一种正是洛伦兹变换。世界采用哪种变换关系，由实验来判断。

得到洛伦兹变换，不需要光速不依赖于参考系这个假设。

如果历史上首先得到这两种变换，也许迈克耳孙-莫雷实验结果出来之后，物理学家也许不会再纠结以太，而是发现光速原来就是参考系第二种变换关系中的无量纲速度。