在固定斜面上做纯滚动的条件

一小球或小圆柱沿斜面向下运动，斜面固定在地面上。一小球或小圆柱做纯滚动的条件是什么？

设小物体与斜面之间动摩擦因数为$\mu$，小物体的转动惯量为$I$，对于小球$I=2mr^2/5$，对于小圆柱，$I=mr^2/2$，$r$为小球或小圆柱体半径。其他量如图所示。

由质心运动定理，有

\begin{equation} mg\sin\theta - f = ma \label{newtonlaw} \end{equation}

由角动量定理，有，

\begin{equation} fr = I\beta \label{angulartheorem} \end{equation}

小物体要做纯滚动，则要求

\begin{equation} a=\beta r \label{rotation} \end{equation}

由以上三式得，

\begin{equation} f=\frac{mg\sin\theta}{1+mr^2/I} \label{friction} \end{equation}

小物体要做纯滚动，静摩擦力要小于滑动摩擦力，即

\begin{equation} f\le \mu mg \cos\theta \label{condition1} \end{equation}

将\eqref{friction}代入上式，得

\begin{equation} \mu \ge \frac{\tan\theta}{1+mr^2/I}\Longrightarrow \begin{cases} & \mu \ge \frac{\tan\theta}{3}, 小圆柱\\ & \mu \ge \frac{2}{7}\tan\theta， 小球 \end{cases} \label{condition2} \end{equation}