斜抛运动路程

质点做斜抛运动，初速度大小为$v$，方向与$x$夹角为$\theta$，再落回地面上，空中走过多少路程？

如图元路程为

\begin{equation*} dS=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \end{equation*}

将上式积分，得路程为

\begin{equation*} \begin{split} S=& \int_{0}^{2\frac {v\sin \theta}{g}}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 } dt \\ =& v \int_{0}^{2\frac {v\sin \theta}{g}}\sqrt{v^2\cos^2\theta+v^2\sin^2\theta -2vgt\sin\theta +g^2t^2} dt \\ =& \frac{v^2}{2g}\left[ 2\sin \theta + (1-\sin^2 \theta) \log\left( \frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}\right)\right] \end{split} \end{equation*}

$\theta$ 为多少时，走过路程最远？

\begin{equation*} \frac{dS}{d\sin\theta}= \frac{v^2}{2g} \left[4-2\sin\theta\log\left(\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right)\right]=0 \end{equation*}

得 $\sin\theta=0.8336$，$\theta=56.5^{\circ}$。