统计力学习题：二维可极化材料

问题：二维可极化材料，由大量电偶极矩为 $\mu$ 的电偶极子构成，电偶极子之间无相互作用。电偶极子在平面内只允许有四种取向：与外电场 $\vec{E}$ 平行、反平行或垂直。略去电偶极子动能，总能量只计电偶极子与外电场的作用能。计算 (i) 极化强度，即沿电场方向的总电偶极矩。(ii) 体系比热。

习题来源：新墨西哥大学统计力学期中试题
解：

一个电偶极子的能量为

\begin{equation} \mathcal E = -\vec{\mu} \cdot \vec{E} = -\mu E \cos\theta \label{energy} \end{equation}

其中 $\theta$ 为电偶极子与外电场的夹角。

设 $g(\theta)$ 为各可允许态的权重。根据题意，

\begin{equation} g(\theta)=\delta(\theta)+\delta \left (\theta-\frac{\pi}{2}\right )+\delta\left (\theta-\pi\right )+\delta\left (\theta-\frac{3\pi}{2}\right ) \label{g} \end{equation}

配分函数

\begin{equation} \begin{split} Z_1=&\int_0^{2\pi}g(\theta)e^{-\beta \mathcal E} \mathrm d\theta \\ &\\ =&\int_0^{2\pi}\left [\delta(\theta)+\delta \left (\theta-\frac{\pi}{2}\right )+\delta\left (\theta-\pi\right )+\delta\left (\theta-\frac{3\pi}{2}\right ) \right ]e^{\beta \mu E \cos\theta} \mathrm d\theta \\ &\\ =& e^{\beta\mu E}+1+e^{-\beta\mu E}+1 \\ &\\ =& 2+2\cosh(\beta\mu E) \\ &\\ =&4\cosh^2\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right ) \end{split} \label{partfunc} \end{equation}

体系共有 $N$ 个电偶极子，总配分函数为

\begin{equation} Z=Z_1^N=4^N\cosh^{2N}\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right ) \label{Npartfunc} \end{equation}

体系电偶极矩

\begin{equation} \begin{split} P=&\frac{\partial }{\partial (\beta E)}\ln Z = \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial (\beta E)}\\ &\\ =&\frac{1}{4^N\cosh^{2N}\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )} \frac{\partial }{\partial (\beta E)}\left [ 4^N\cosh^{2N}\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )\right ]\\ &\\ =& N\mu \frac{\sinh\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right )}{\cosh\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right )}\\ &\\ =&N\mu \tanh\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right ) \end{split} \label{P} \end{equation}

体系热容

\begin{equation} \begin{split} C_v=&\frac{\mathrm d\langle E \rangle}{\mathrm dT}+\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\left (-\frac{\partial }{\partial \beta}\ln Z \right )\\ &\\ =&-\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\left [ \frac{1}{\cosh^{2N}\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )} \frac{\partial }{\partial \beta}\cosh^{2N}\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )\right ]\\ &\\ =& -\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\left [ \frac{N\mu E\sinh\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )}{\cosh\left (\frac{\beta\mu E}{2}\right )}\right ] \\ &\\ =&-N\mu E\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\left [ \tanh\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right )\right ]\\ &\\ =&\frac{Nk_B}{2}(\beta\mu E)^2\cosh^{-2}\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right ) \end{split} \label{Cv} \end{equation}

比热为

\begin{equation} \frac{C_v}{N}=\frac{k_B}{2}(\beta\mu E)^2\cosh^{-2}\left( \frac{\beta\mu E}{2}\right ) \label{CvN} \end{equation}