Essential University Physics 22.4 带电导体

22.4 带电导体

处于静电平衡的带电导体内部没有电场，导体表面的电场与导体表面垂直。因此，在导体内部或表面上移动试探电荷，不需要做功。这意味着，处于静电平衡的带电导体是等势体。

考虑一个孤立球形导体，半径为$R$，电量为$Q$，电量均匀分布，我们已经知道，球外电场与点电荷电场相同。球表面上的电势，我们在[22.3节](http://www.joyfulphysics.net/index.php/archives/136/)已经求过，为$V(R)=kQ/R$。现在考虑两个相距较远的带电导体球，并且二者半径也不相同，分别为$R_1$和$R_2$。用细导线将两导体球相连，如图22.17所示，电荷将沿导线移动，直到两球电势相等。但是，由于两球相距较远，两球表面上电荷依然可看做均匀分布，电荷面密度分别为$\sigma_1$和$\sigma_2$，两球上电量分别为$Q_1=4\pi R_1^2\sigma_1$和$Q_2=4\pi R_2^2\sigma_2$。两球电势相等，因此有$kQ_1/R_1=kQ_2/R_2$，于是有

\begin{equation*} \frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{R_1}{R_2} \end{equation*}

图22.17 两导体球，以长细导线相连。

显然，小球的电荷密度大于大球的电荷密度。导体附近的电场$E=\sigma/\epsilon_0$，因此小球附近的电场更强。概念例题22.1

概念例题22.1 不规则导体

画出一孤立的卵形导体的等势面和电场线。

分析：导体弯曲程度大的地方，曲率半径小，类似图22.17中的小球，电荷面密度大，电场也更大，即电场线密度大。由于电场与导体表面垂直，因此导体附近的等势面和导体表面形状基本相同。距导体非常远的地方，电场类似点电荷的电场，电场线沿径向，等势面近乎为球面。基于这些考虑，我们画出电场线和等势面的近似图像，如图22.18所示。

图22.18 带电导体的等势面和电场线。

检查：我们的分析只适用于孤立导体。导体附近如果有电荷存在，会改变导体上的电荷分布，如图22.19所示。

图22.19 附近的其他电荷改变导体上的电荷分布。

定量：图22.18中，设最外面的等势面与导体之间的电势差为$70 V$。分别计算图中电场最强和最弱处的电场大小，假设图中距离与真实距离为1:1。

计算：电场是电势的变化率。在尖端，电场最强，最外面的等势面到导体之间的距离约为$7 \mathrm{mm}$，因此电场大小约为$70 \mathrm V/7\mathrm mm=10 \mathrm{V/mm}$，即$10 \mathrm{kV/m}$。最外面的等势面到导体之间的最远距离约为$12 \mathrm{mm}$，计算得电场大小约为$6 \mathrm{kV/m}$。