梳状高分子的标度理论
参考文献：Polym. Sci. USSR 1987, 29, 1293
主链是刚性链
侧链伸展长度为$D$，相邻侧链间距$h$，侧链链长为$n$。
由弗洛里理论可以得到$D$。自由能为
\begin{equation}
F=\frac{D^2}{n}+\tau n \frac{n}{D^2h}+n \left (\frac{n}{D^2h}\right )^2
\label{Flory}
\end{equation}
对自由能取极小，得
\begin{equation} D \approx \begin{cases} n^{3/4}\tau^{1/4}h^{-1/4}, & + \\ n^{2/3}h^{-1/3}, & \theta \end{cases} \label{Floryscaling} \end{equation}
采用链滴(blob)图像分析问题。
由几何考虑，链滴大小
\begin{equation}
p\xi^2(r)\approx Lr \Longrightarrow \xi(r) \approx (rh)^{1/2}
\label{blob}
\end{equation}
其中$p$为侧链数目，$L$为中心接枝链长度，$h=L/p$。
一个链滴中链节数目$g$满足下式：
\begin{equation} \xi(r) \approx \begin{cases} g^{1/2}, &\theta \\ g^{3/5}\tau^{1/5}, & + \end{cases} \label{bloblength} \end{equation}
其中$\tau=(T-\theta)/T$。
侧链密度分布为
\begin{equation} c(r)\approx \frac{g}{\xi^3(r)}= \begin{cases} (rh)^{-1/2}, &\theta \\ (rh)^{-2/3}\tau^{-1/3}, & + \end{cases} \label{density} \end{equation}
由质量守恒，
\begin{equation}
n=h\int_0^D c(r)2\pi r\mathrm dr
\label{massconserve}
\end{equation}
由\eqref{density}和\eqref{massconserve}式得
\begin{equation} D \approx \begin{cases} n^{2/3}h^{-1/3}, & \theta \\ n^{3/4}\tau^{1/4}h^{-1/4}, & + \end{cases} \label{blobscaling} \end{equation}
与弗洛里理论结果\eqref{Floryscaling}一致。
一个链滴的能量为$k_BT$，因此一根链的自由能为
\begin{equation} \begin{split} \Delta F =& \int_0^D\frac{\mathrm dr}{\xi (r)}=D^{1/2}h^{-1/2}\\ =&\begin{cases} n^{1/3}h^{-2/3}, & \theta \\ n^{3/8}\tau^{1/8}h^{-5/8}, & + \end{cases} \end{split} \label{blobfreeenergy} \end{equation}
主链是柔性链
自由能为
\begin{equation}
\Delta F'=\Delta F(n,h)+\Delta F_{\mathrm{elast}}(m,h)
\label{DeltaF}
\end{equation}
其中$\Delta F(n,h)$为侧链自由能，即\eqref{blobfreeenergy}式。
$\Delta F_{\mathrm{elast}}(m,h)$为主链上相邻接枝点之间部分的自由能，
\begin{equation} \Delta F_{\mathrm{elast}}(m,h)=\begin{cases} \frac{h^2}{m}, & \theta \\ \left (\frac{h}{m^{3/5}\tau^{1/5}} \right )^{5/2},& + \end{cases} \label{Fmh} \end{equation}
（来历参考Rubinstein 的书 Polymer Physics 3.2节）
$\Delta F'$求极小，再考虑到\eqref{blobscaling}式，得
\begin{equation} \begin{cases} \begin{split} h \approx & m^{3/8}n^{1/8} \approx & m^{1/2}(n/m)^{1/8} \\ D \approx & n^{5/8}m^{-1/8}\approx & n^{1/2}(n/m)^{1/8} \end{split} & \theta/\theta \\ \begin{split} h \approx & m^{8/21}n^{1/7}\tau^{1/21}\approx & m^{1/2}\left(n^{3/5}\tau^{1/5}/m^{1/2}\right)^{5/21} \\ D \approx & n^{5/7} m^{-2/21}\tau^{5/21}\approx & n^{3/5}\tau^{1/5}\left(n^{3/5}\tau^{1/5}/m^{1/2}\right)^{4/21} \end{split} & \theta/+ \\ \begin{split} h \approx & m^{12/25}n^{3/25}\tau^{1/5}\approx & m^{3/5}\tau^{1/5}\left(n/m\right)^{3/25} \\ D \approx & n^{18/25} m^{-3/25}\tau^{1/5}\approx & n^{3/5}\tau^{1/5}\left(n/m\right)^{3/25} \end{split} & +/+ \end{cases} \label{Dh} \end{equation}
上式中溶剂性质，前者是主链，后者是侧链。
整体大小
前面的讨论，等效库恩长度（Kuhn length）$l>h$，$l\sim D$。链刚性部分为球对称的超链滴（superblob），链滴大小为$D$，见文章开头的图。超链滴可看做星状高分子，现在确定分支数$f$。
对于星状高分子，大小可仿照本文第一部分的讨论得到。星状高分子的链滴大小为$\xi \approx rf^{-1/2}$。由星状高分子大小即可得超链滴大小：
\begin{equation} D\approx \begin{cases} n^{1/2}f^{1/4}, & \theta\\ n^{3/5}(\tau f)^{1/5}, & + \end{cases} \label{star} \end{equation}
一个星状高分子的自由能$\Delta F \approx f \int_0^D \mathrm dr/\xi \approx f^{3/2}\ln D\approx f^{3/2}$。于是，一个超链滴的自由能为
\begin{equation} \Delta F_S \approx f^{3/2}+ \begin{cases} \frac{D^2}{mf}, & \theta \\ \left (\frac{D}{(mf)^{3/5}\tau^{1/5}} \right)^{5/2}, & + \end{cases} \label{superblob} \end{equation}
其中第二项参考\eqref{blobfreeenergy}得到。
将\eqref{star}代入\eqref{superblob}式，\eqref{superblob}式对$f$求极小，得$f$。
主链的等效轮廓长度为$L'=DN/(fn)$。（我怎么感觉$L'=DK/(fm)$）
类比高分子真实链，轮廓长度为$Nb$，末端距为$R\approx N^{3/5}b=(Nb)^{3/5}b^{2/5}$，可得主链的末端距为
\begin{equation}
R\approx L'^{3/5}D^{2/5}
\label{spine}
\end{equation}