Essential University Physics 20.4 电荷分布的电场

20.4 电荷分布的电场

既然电场力满足叠加原理，那么电场也满足叠加原理。一个电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的矢量和。

\begin{equation}
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\cdots=\sum_i\vec{E}_i=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^2}\hat{r}_i \quad (电场满足叠加原理)
\tag{20.4}\label{20.4}
\end{equation}

其中$\vec{E}_i$为距离我们要计算电场的位置——称为场点——$r$的点电荷$q_i$的电场，$\hat{r}_i$为从$q_i$处指向场点处的单位矢量。原则上，根据\eqref{20.4}式，我们可以计算任意电荷分布的电场。在实践中，求和过程常常非常复杂，除非电荷非常少，或者具有某种对称性。

根据\eqref{20.4}式求电场与求电场力的方法类似，只是这里不涉及受力电荷。第一步就是确定场点。应用\eqref{20.4}式时要清楚公式中的单位矢量，以进行矢量求和。

例题20.4 求两个质子的电场

两个质子相距$3.6 \mathrm{nm}$。求二者之间距离一个质子$1.2 \mathrm{nm}$处的电场，进而求位于此处的一个电子所受的电场力。

分析：与前面计算电场力的方法类似，只是这里不需要找受力电荷，但是要找到场点。根据题意，场点距离一个质子$1.2 \mathrm{nm}$，那么距离另一个质子$2.4 \mathrm{nm}$。源电荷就是两个质子。

将两质子置于$x$轴上，画出示意图，如图20.10所示，设场点为$P$，距离左边的质子$1.2 \mathrm{nm}$，左右两质子指向场点的单位矢量分别为$\hat{r}_1$和$\hat{r}_2$，显然$\hat{r}_1=\hat{i}$，$\hat{r}_2=-\hat{i}$。

图20.10 求P点处电场

计算：根据\eqref{20.4}式，$P$点处电场为

\begin{equation*} \begin{split} \vec{E}=&\vec{E}_1+\vec{E}_2\\ =&\frac{ke}{r_1^2}\hat{i}+\frac{ke}{r_2^2}(-\hat{i})=ke\left(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2}\right)\hat{i}\\ =&9.0\times 10^9\times 1.6\times 10^{-19}\left(\frac{1}{(1.2\times 10^{-9})^2}-\frac{1}{(2.4\times 10^{-9})^2}\right)\mathrm{N/C}\hat{i}\\ =&7.5\times 10^8\mathrm{N/C}\hat{i} \end{split} \end{equation*}

位于$P$点处的一个电子受到的电场力为

\begin{equation*} \vec{F}=-e\vec{E}=-1.6\times 10^{-19}\times 7.5\times 10^8\mathrm{N}\hat{i}=-0.12\mathrm{nN}\hat{i} \end{equation*}

检查：$P$点处电场沿$x$轴正方向，说明左边的质子在$P$点产生的电场更强，合理，因为$P$点距左边的质子更近。电场的大小貌似太大了，这在微观世界，还算常见，因为场点到带电粒子太近了。

$P$点处电子所受电场力沿$x$轴负方向，与电场方向相反，合理，因为电子带负电。

电偶极子

一对等量异号的电荷组成的体系叫做电偶极子，这是一种重要的电荷分布。许多种分子可以看做电偶极子，因此理解电偶极子有助于解释分子的行为。如图20.11，水分子可以看做一个电偶极子。心脏肌肉在收缩时就可看做电偶极子，医生测心电图就是测量电偶极子的大小和方向。收音机和电视天线的工作原理也涉及电偶极子。

图20.11 水分子可看做电偶极子。水分子总体呈电中性，但正负电荷分布区域不重合。

例题20.5 分子的电偶极子模型

一分子可模型化为一个电偶极子，其中正电荷$q$位于$x=a$处，负电荷$-q$位于$x=-a$处，计算电场沿$y$轴的分布，并找出在很远处($y\gg a$)电场的近似表达式。

分析：利用\eqref{20.4}式求电荷分布的电场，场点位于$y$轴上，源电荷为$\pm q$。

示意图如图20.12所示。两单位矢量分别从两个源电荷指向场点，正电荷的电场与单位矢量同向，负电荷的电场与单位矢量反向。根据对称性，电场的$y$分量恰好抵消，合电场沿$x$轴负方向，所以我们只需要考虑单位矢量的$x$分量。从图20.12容易看出，从$x=-a$处的负电荷指向场点的单位矢量的$x$分量为$\hat{r}_{x-}=a/r$，从$x=a$处的正电荷指向场点的单位矢量的$x$分量为$\hat{r}_{x+}=-a/r$。

图20.12 求电偶极子的电场。

计算：$y$轴上的电场为

\begin{equation*} \vec{E}=\frac{k(-q)}{r^2}\frac{a}{r}\hat{i}+\frac{kq}{r^2}\left(-\frac{a}{r}\right)\hat{i}=-\frac{2kqa}{(a^2+y^2)^{2/3}}\hat{i} \end{equation*}

上式最后一步我们用到了$r=\sqrt{a^2+y^2}$。

如果$y\gg a$，略去$a^2$，得

\begin{equation*} \vec{E}\simeq -\frac{2kqa}{y^3}\hat{i} \quad (y\gg a) \end{equation*}

检查：点电荷电场随距离的-2次幂减小，电偶极子的电场随距离的-3次幂减小，电偶极子电场减小得更快，电偶极子净电荷为0，这个结果是合理的。

例题20.5表明，电偶极子在远处产生的电场随距离的-3次幂减小。物理上，这是因为电偶极子净电荷为0。电偶极子能产生电场是因为两相反电荷有轻微偏离。电偶极子的电场比点电荷的电场更弱，更局域。许多复杂的电荷分布呈现出电偶极子的基本特征，即尽管总体上上电中性的，但是正负电荷分布区域有偏离，各种分布在远处产生的电场几乎是完全相同的。

电偶极子在远处的物理性质由电量和两电荷的距离决定。电量$q$与电荷距离$d=2a$的乘积叫做电偶极矩$p$：

\begin{equation}
p=qd \quad (电偶极矩)
\label{20.5}\tag{20.5}
\end{equation}

电偶极子在中垂线上远处产生的电场可写为：

\begin{equation}
\vec{E}= -\frac{kp}{y^3}\hat{i} \quad (电偶极矩在其中垂线上远处产生的电场)
\label{20.6a}\tag{20.6a}
\end{equation}

容易计算得，电偶极子在其连线上远处产生的电场为

\begin{equation}
\vec{E}= \frac{2kp}{x^3}\hat{i} \quad (电偶极矩在其连线上远处产生的电场)
\label{20.6b}\tag{20.6b}
\end{equation}

电偶极子不具有球对称性，因此其电场不仅与场点到源电荷分布中心距离有关，还与场点与源电荷分布中心连线与电偶极矩方向之间的夹角有关，即与电偶极矩的取向有关。\eqref{20.6a}和\eqref{20.6b}式表明，电偶极子中垂线上和电偶极子连线上距离电偶极子中心同样距离的两点，电场大小差一倍。因此，电偶极矩在空间取向很重要，因此，我们把电偶极矩定义成一个矢量，大小为$p=qd$，方向为从负电荷指向正电荷，如图20.13所示。

图20.13 电偶极矩矢量的大小为$p=qd$，方向为从负电荷指向正电荷。

课堂练习 20.2
距离(a)一个点电荷或(b)一个电偶极子远处，测量得电场大小为$800\mathrm{N/C}$。在距离更远1倍处，电场大小分别为多少？

连续电荷分布

所有的电荷分布根本上都是由电子和质子组成的，都是离散的，但是一般情况下，点电荷约$10^{23}$个，对$10^{23}$个矢量求和是不现实的。相反，电荷分布近似为连续分布才便于计算。如果电荷分布于一定体积内，我们可以用电荷体密度$\rho$（单位$\mathrm{C/m^3}$）描述电荷分布，如果电荷分布于一平面或曲面上，我们可以用电荷面密度$\sigma$（单位$\mathrm{C/m^2}$）描述电荷分布。如果电荷分布于曲线或直线上，我们可以用电荷线密度$\lambda$（单位$\mathrm{C/m}$）描述电荷分布。

为了计算连续电荷分布的电场，我们把带电区域分割成很多很多的电荷元$dq$，每个电荷元足够小，可以看做点电荷。每个电荷元的电场，根据\eqref{20.3}，为：$d\vec{E}=(kdq/r^2)\hat{r}$。总电场即是所有的$d\vec{E}$的矢量和，如图20.14所示。在无穷小的$dq$及其对应的$d\vec{E}$无穷多极限下，求和变成积分：

\begin{equation}
\vec{E}=\int d\vec{E}=\int \frac{kdq}{r^2}\hat{r} \quad (连续电荷分布的电场)
\tag{20.7}\label{20.7}
\end{equation}

积分限是整个带电区域。

图20.14 $P$点处的电场是各电荷元$dq$的电场$d\vec{E}$，计算每个$d\vec{E}$都要根据对应的$r$和$\hat{r}$。

计算连续电荷分布的电场与我们前面计算点电荷分布的电场的策略是一样的：找到场点和源电荷，只是这里源电荷是连续分布的。各个电场加起来，这里是对各电荷元的电场积分。这里要注意$r$和$\hat{r}$都是依赖于积分变量的。

例题20.6 计算带电圆环的电场
一圆环半径为$a$，均匀带电，总电量为$Q$，求圆环轴线上电场分布。

分析：场点位于圆环轴线上，源电荷为整个圆环。

设圆环轴线为$x$轴，圆环中心位于$x=0$处，如图20.15所示。由对称性，圆环上同一直径上的两个电荷元在圆环轴线上的电场的与$x$轴垂直的分量正好抵消，合电场沿$x$轴方向。因此总电场只有$x$分量，我们只需要计单位矢量的$x$分量。所有的单位矢量的$x$分量都相同，为$\hat{r}_x=a/r$。

图20.15 同一直径上的两个电荷元在圆环轴线上的电场的与轴线垂直的分量正好抵消，因此带电圆环轴线上的电场沿轴线方向。

计算：将\eqref{20.7}式应用于此体系。每个电荷元对合电场的贡献都是一样的，为$dE_x=(kdq/r^2)\hat{r}_x=(kdq/r^2)(x/r)$，其中$r=(a^2+x^2)^{1/2}$。合电场为

\begin{equation*} \begin{split} \vec{E}=&\hat{i}\int_{\mathrm{圆环}}dE_x=\hat{i}\int_{\mathrm{圆环}}\frac{kxdq}{r^3}=\hat{i}\int_{\mathrm{圆环}}\frac{kxdq}{(a^2+x^2)^{3/2}}\\ =&\hat{i}\frac{kx}{(a^2+x^2)^{3/2}}\int_{\mathrm{圆环}}dq=\hat{i}\frac{kQx}{(a^2+x^2)^{3/2}} \end{split} \end{equation*}

检查：容易分析得，不管圆环的电量$Q$是正是负，电场的方向是对的。在$x=0$处，$E=0$，根据对称性，圆环中心电场应该为0。在$x\gg a$，$E=kQ/x^2$，正是点电荷的电场，合理，在无穷远处，任意有限区域的电荷分布都会回到点电荷。

例题20.7 带电直线的电场
一长直输电线，可近似认为无限长，正好位于$x$轴上，均匀带电，电荷线密度为$\lambda$，求$y$轴上的电场分布。

分析：场点到输电线距离为$y$，源电荷为输电线。

如图20.16所示，$y$轴上任取一点$P$作为场点，输电线分成许多电荷元$dq$。容易看出，$y$轴两边对称的电荷元在$y$轴上的电场的$x$分量互相抵消。因此公式\eqref{20.7}中的单位矢量只需要考虑其$y$分量，$\hat{r}_y=y/r$。

图20.16 带电直线电场是各电荷元的电场的矢量和。

计算：要做积分\eqref{20.7}，电荷元要与几何变量联系起来。设电荷元长度为$dx$，于是电荷元为$dq=\lambda dx$，电荷元在$y$轴上的电场的$y$分量为

\begin{equation*} dE_y=\frac{kdq}{r^2}\hat{r}_y=\frac{kdq}{r^2}\frac{y}{r}=\frac{k\lambda y}{(x^2+y^2)^{3/2}}dx \end{equation*}

合电场

\begin{equation*} \vec{E}=\hat{j}E_y=\hat{j}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{k\lambda y}{(x^2+y^2)^{3/2}}dx=\frac{2k\lambda}{y}\hat{j} \end{equation*}

检查：对于无限长的带电线，沿平行带电线的两个方向是等价的，因此电场只能沿径向。如果带电线带正电，$\lambda\gt 0$，电场沿$y$轴正方向，反之，电场沿$y$轴负方向，合理。由于带电线是无限长的，因此在距离带电线无限远处，结果回不到点电荷的结果。与点电荷相比，无限长带电线的电场随距离的增大而减小得慢，结果符合。

无限长带电线的电场如图20.17所示。

图20.17 无限长带正电直线的电场矢量沿径向向外，大小随场点到带电线距离按-1次幂减小。

无限长带电线当然不存在，如果场点到带电线距离远小于带电线长度，且场点不位于带电线端点处，则无限长近似是成立的。对于有限长的带电线，其远处的电场将类似于点电荷的电场。